Estimer π en lançant des fléchettes

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · sciences numériques et technologie (seconde), chapitre 6 — Listes et simulations aléatoires · Le module random et les simulations

Énoncé

On tire un point au hasard dans le carré $[0; 1]^{2}$ . La probabilité qu'il tombe dans le quart de disque de rayon $1$ vaut $π /4$ . En déduire une estimation de $π$ , et étudier sa précision selon $N$ .

Corrigé

import random

def estime_pi(N):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if x*x + y*y <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / N

for N in [100, 10000, 1000000]:
    print(N, estime_pi(N))
# 100 : 3.08 / 10000 : 3.1428 / 1000000 : 3.14158

Le raisonnement : l'aire du quart de disque vaut $π /4$ et celle du carré $1$ ; la proportion de points tombant dedans estime donc ce rapport, et il suffit de multiplier par $4$ .

On teste $x^{2} + y^{2} \leq 1$ plutôt que $x^{2} + y^{2} \leq 1$ : c'est équivalent et cela évite une racine carrée par point.

Sur la précision : un million de tirages ne donnent que $4$ ou $5$ décimales justes, conformément au $1/ N$ déjà rencontré. C'est une très mauvaise façon de calculer $π$ — mais la méthode de Monte-Carlo devient irremplaçable en dimension élevée, où les méthodes exactes ne passent plus.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.