La loi des grands nombres, mesurée — exercice corrigé de sciences numériques et technologie (seconde) (chapitre 6)

La loi des grands nombres, mesurée

Listes et simulations aléatoires · Le module random et les simulations · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Écrire une fonction frequence_six(N) renvoyant la fréquence de $6$ sur N lancers.
Pour chaque $N$ dans $[10, 100, 1000, 10000, 100000]$ , appeler la fonction cinq fois et relever l'écart entre la plus grande et la plus petite des cinq fréquences.
Que constate-t-on ? Le comparer à $1/ N$ .

Corrigé

1. et 2.

import random

def frequence_six(N):
    c = 0
    for i in range(N):
        if random.randint(1, 6) == 6:
            c = c + 1
    return c / N

for N in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    essais = []
    for k in range(5):
        essais.append(frequence_six(N))
    print(N, round(max(essais) - min(essais), 4))

Résultats typiques :

$N$	étendue des 5 essais	$1/ N$
10	0,3	0,32
100	0,09	0,10
1 000	0,033	0,032
10 000	0,010	0,010
100 000	0,003	0,003

3. Deux choses se lisent dans ce tableau.

D'abord, les fréquences se rapprochent de $1/6$ : c'est la loi des grands nombres. Mais le résultat le plus instructif est la vitesse : l'étendue suit remarquablement $1/ N$ . Multiplier $N$ par $100$ ne divise la fluctuation que par $10$ .

La conséquence pratique est importante : pour gagner une décimale de précision, il faut cent fois plus de tirages. C'est pourquoi une simulation ne remplace jamais un calcul exact quand celui-ci est possible — et pourquoi un sondage sur $1000$ personnes annonce une marge d'erreur d'environ $3 %$ , soit précisément $1/ 1000$ .