Trois piles de suite

1.

import random

def une_partie():
    lancers = 0
    consecutifs = 0
    while consecutifs < 3:
        lancers = lancers + 1
        if random.randint(0, 1) == 1:      # 1 = pile
            consecutifs = consecutifs + 1
        else:
            consecutifs = 0                # tout est à refaire
    return lancers

Le else est le cœur de l'exercice : un « face » ne fait pas perdre un point, il remet le compteur à zéro. C'est ce qui rend le problème bien plus long qu'on ne l'imagine.

2. et 3.

def duree_moyenne(N):
    total = 0
    for partie in range(N):
        total = total + une_partie()
    return total / N

print(duree_moyenne(100000))   # environ 14.0

On trouve bien une moyenne voisine de $14$, ce qui surprend souvent : on attend spontanément une valeur proche de $8=2^3$.

L'intuition fautive consiste à penser qu'il suffit d'attendre le bon paquet de trois. En réalité, chaque échec détruit tout le progrès accompli. La valeur exacte est $2^1+2^2+2^3=14$, et la même formule donne $2+4+\cdots +2^k$ pour $k$ piles consécutifs — soit $126$ lancers pour six piles de suite.

Une boucle while s'imposait ici : le nombre de lancers est précisément l'inconnue.