Trois piles de suite — exercice corrigé de sciences numériques et technologie (seconde) (chapitre 6)

Trois piles de suite

Listes et simulations aléatoires · Le module random et les simulations · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On lance une pièce jusqu'à obtenir trois « pile » consécutifs.

Écrire une fonction une_partie() renvoyant le nombre de lancers nécessaires.
Écrire duree_moyenne(N) estimant le nombre moyen de lancers sur N parties.
Estimer cette moyenne, puis comparer à la valeur théorique $14$ .

Corrigé

import random

def une_partie():
    lancers = 0
    consecutifs = 0
    while consecutifs < 3:
        lancers = lancers + 1
        if random.randint(0, 1) == 1:      # 1 = pile
            consecutifs = consecutifs + 1
        else:
            consecutifs = 0                # tout est à refaire
    return lancers

Le else est le cœur de l'exercice : un « face » ne fait pas perdre un point, il remet le compteur à zéro. C'est ce qui rend le problème bien plus long qu'on ne l'imagine.

2. et 3.

def duree_moyenne(N):
    total = 0
    for partie in range(N):
        total = total + une_partie()
    return total / N

print(duree_moyenne(100000))   # environ 14.0

On trouve bien une moyenne voisine de $14$ , ce qui surprend souvent : on attend spontanément une valeur proche de $8 = 2^{3}$ .

L'intuition fautive consiste à penser qu'il suffit d'attendre le bon paquet de trois. En réalité, chaque échec détruit tout le progrès accompli. La valeur exacte est $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} = 14$ , et la même formule donne $2 + 4 + \dots + 2^{k}$ pour $k$ piles consécutifs — soit $126$ lancers pour six piles de suite.

Une boucle while s'imposait ici : le nombre de lancers est précisément l'inconnue.