Combien de points pour trois décimales de pi ?

1. et 2.

import random

def estime_pi(N):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        x, y = random.random(), random.random()
        if x*x + y*y <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / N

for N in [100, 10000, 1000000]:
    essais = [estime_pi(N) for k in range(5)]
    print(N, round(max(essais) - min(essais), 4))

$N$	étendue des 5 essais	$1/\sqrt{N}$
$10^2$	0,32	0,10
$10^4$	0,04	0,01
$10^6$	0,004	0,001

L'étendue est de l'ordre de quelques $1/\sqrt{N}$ : elle décroît comme la racine carrée, pas comme $N$.

3. Trois décimales justes demandent une erreur inférieure à $5\times 10^{-4}$, donc $N$ de l'ordre de $10^7$ — et encore, sans garantie : la méthode est probabiliste, elle ne promet jamais un résultat à coup sûr.

Conclusion, et c'est le cœur de l'exercice : c'est une très mauvaise façon de calculer $\pi$. Une formule comme celle de Leibniz, ou mieux les algorithmes classiques, donnent des milliers de décimales en un instant. Ce qui fait l'intérêt de Monte-Carlo est ailleurs : il s'applique à des domaines dont on ne sait pas calculer l'aire, et son coût ne dépend pas du nombre de dimensions — là où les méthodes exactes deviennent impraticables.