Combien de points pour trois décimales de pi ? — exercice corrigé de sciences numériques et technologie (seconde) (chapitre 7)

Combien de points pour trois décimales de pi ?

Projets et mini-jeux · Estimation de pi par Monte-Carlo · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On estime $π$ par la méthode de Monte-Carlo du cours.

Pour $N$ valant $1 0^{2}$ , $1 0^{4}$ et $1 0^{6}$ , lancer cinq estimations et relever l'écart entre la plus grande et la plus petite.
Comparer cet écart à $1/ N$ .
Combien de points faudrait-il, à ce rythme, pour obtenir trois décimales justes à coup sûr ? Conclure.

Corrigé

1. et 2.

import random

def estime_pi(N):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        x, y = random.random(), random.random()
        if x*x + y*y <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / N

for N in [100, 10000, 1000000]:
    essais = [estime_pi(N) for k in range(5)]
    print(N, round(max(essais) - min(essais), 4))

$N$	étendue des 5 essais	$1/ N$
$1 0^{2}$	0,32	0,10
$1 0^{4}$	0,04	0,01
$1 0^{6}$	0,004	0,001

L'étendue est de l'ordre de quelques $1/ N$ : elle décroît comme la racine carrée, pas comme $N$ .

3. Trois décimales justes demandent une erreur inférieure à $5 \times 1 0^{- 4}$ , donc $N$ de l'ordre de $1 0^{7}$ — et encore, sans garantie : la méthode est probabiliste, elle ne promet jamais un résultat à coup sûr.

Conclusion, et c'est le cœur de l'exercice : c'est une très mauvaise façon de calculer $π$ . Une formule comme celle de Leibniz, ou mieux les algorithmes classiques, donnent des milliers de décimales en un instant. Ce qui fait l'intérêt de Monte-Carlo est ailleurs : il s'applique à des domaines dont on ne sait pas calculer l'aire, et son coût ne dépend pas du nombre de dimensions — là où les méthodes exactes deviennent impraticables.