Deux stratégies au jeu du 20

1. et 2.

import random

def partie(s):
    total = 0
    while total < s:
        de = random.randint(1, 6)
        if de == 1:
            return 0
        total = total + de
    return total

def gain_moyen(s, N):
    return sum(partie(s) for i in range(N)) / N

for s in range(10, 31, 5):
    print(s, round(gain_moyen(s, 20000), 2))

Résultats typiques :

seuil	gain moyen
10	6,5
15	6,9
20	6,7
25	6,1
30	5,3

3. L'optimum est aux alentours de $15$.

Pourquoi il existe. Deux effets se combattent. Viser plus haut augmente le gain quand on gagne — c'est ce qui pousse le seuil vers le haut. Mais chaque lancer supplémentaire a une chance sur six de tout annuler, et la probabilité de survie décroît géométriquement avec le nombre de lancers : environ $(5/6{)}^k$ après $k$ lancers. Le produit « gain × probabilité de l'atteindre » croît d'abord, puis s'effondre.

C'est exactement la structure d'un problème d'espérance : on ne maximise pas le meilleur résultat possible, mais la moyenne sur un grand nombre de parties. Un joueur qui viserait $30$ ferait de très beaux scores… rarement.