Monte-Carlo en grande dimension

import random

def volume(dim, N=200000):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        p = [random.uniform(-1, 1) for k in range(dim)]
        if sum(x*x for x in p) <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return dedans / N * (2 ** dim)

print(volume(3))    # environ 4.19 = 4/3 pi
print(volume(10))   # environ 2.5

En dimension $3$ on retrouve $\frac{4}{3}\pi \approx 4,19$, pour un cube de volume $8$ : la boule occupe plus de la moitié.

En dimension $10$, le cube a un volume de $2^{10}=1024$ et la boule environ $2,5$ — soit deux millièmes du cube. C'est le « fléau de la dimension » : presque tout le volume d'un cube est dans ses coins.

Conséquence pratique. Un quadrillage régulier à $10$ points par axe demanderait $10^{10}$ points en dimension $10$, et l'immense majorité tomberait hors de la boule. Monte-Carlo, lui, garde le même coût quelle que soit la dimension — c'est précisément pour cela qu'on l'emploie, et non pour calculer $\pi$.