thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Ce que coûte l'entropie créée dans une turbine : un thermomètre sur l'eau du condenseur

Systèmes ouverts en régime stationnaire · F. Applications aux machines · niveau 2

Énoncé

La centrale de cogénération d'une papeterie comporte une turbine à condensation. Elle reçoit $D_{m} = 10, 0 kg s^{- 1}$ de vapeur à $40 bar$ et $400^{\circ} C$ (état 3) et la détend jusqu'à $0, 08 bar$ (état 4). Le condenseur est un échangeur où la vapeur se condense entièrement (sortie : liquide saturant sous $0, 08 bar$ , état 1) au contact de tubes parcourus par de l'eau de rivière : $D_{e} = 500 kg s^{- 1}$ , qui entre à $20, 0^{\circ} C$ et dont on mesure la sortie à $30, 0^{\circ} C$ . Turbine et condenseur sont calorifugés ; on néglige les pertes de charge. La vapeur quitte la turbine à environ $100 m s^{- 1}$ .

Extrait des tables de l'eau :

état	$P$ (bar)	$T$ ( $^{\circ} C$ )	$h$	$s$
vapeur	$40$	$400, 0$	$3214, 5$	$6, 7714$
liquide saturant	$0, 08$	$41, 51$	$173, 8$	$0, 5925$
vapeur saturante	$0, 08$	$41, 51$	$2576, 2$	$8, 2273$

1) Représenter sur le diagramme $(T, s)$ la détente d'une turbine idéale, calorifugée et réversible, de l'état 3 jusqu'à $0, 08 bar$ (état $4 s$ ). Calculer le titre $x_{4 s}$ , l'enthalpie $h_{4 s}$ et le travail massique $w_{s}$ de cette détente.

2) Par un bilan d'énergie sur le condenseur, déterminer l'enthalpie massique $h_{4}$ de la vapeur qui quitte la turbine réelle, son titre et son entropie massique. En déduire l'entropie massique créée dans la turbine. Placer l'état 4.

3) Calculer le travail massique réel et la puissance de la turbine. Montrer que l'écart au travail de la détente idéale vaut exactement $T_{f} s_{c}$ , où $T_{f}$ est la température du condenseur, et l'interpréter comme une aire sur le diagramme. Où passe l'énergie correspondante ?

4) Le thermomètre de sortie de l'eau de rivière est précis à $\pm 0, 1 K$ . Avec quelle incertitude connaît-on $s_{c}$ ?

5) Cas limite. Entre quelles bornes la mesure de l'échauffement de l'eau de rivière doit-elle se trouver ? Que conclure d'une mesure de $8, 0 K$ ?

Corrigé

La stratégie. La turbine calorifugée a $s_{e} = 0$ : toute variation d'entropie y est de l'entropie créée. On ne mesure pas l'entropie, mais on mesure une température : le condenseur, calorifugé, transmet à la rivière exactement ce que cède la vapeur, et ce bilan d'énergie donne l'état de sortie de la turbine. Le palier de condensation change ensuite l'entropie en énergie.

1) La détente idéale. Calorifugée ( $s_{e} = 0$ ) et réversible ( $s_{c} = 0$ ) : $s_{4 s} = s_{3}$ , segment vertical sur le diagramme, qui entre dans la cloche. Par extensivité sous $0, 08 bar$ : $x_{4 s} = \frac{6 , 7714 - 0 , 5925}{8 , 2273 - 0 , 5925} = 0, 8093, h_{4 s} = 173, 8 + 0, 8093 \times 2402, 4 = 2118, 1 kJ k g^{- 1},$ et $w_{s} = h_{4 s} - h_{3} = - 1096, 4 kJ k g^{- 1}$ . L'énergie cinétique de sortie, $\frac{1}{2} \times 10 0^{2} = 5 kJ k g^{- 1}$ , est négligeable devant ce $Δ h$ ( $0, 5 %$ ).

2) Ce que dit le thermomètre. L'eau de rivière (liquide, pression constante) reçoit $D_{e} c Δ T = 500 \times 4, 18 \times 10, 0 = 20900 kW$ . Le condenseur étant calorifugé, la vapeur cède la même puissance : $D_{m} (h_{4} - h_{1}) = 20, 9 MW$ , d'où $h_{4} = h_{1} + \frac{D _{e} c Δ T}{D _{m}} = 173, 8 + 2090, 0 = 2263, 8 kJ k g^{- 1}, x_{4} = \frac{2 090 , 0}{2 402 , 4} = 0, 86996,$ $s_{4} = 0, 5925 + 0, 86996 \times 7, 6348 = 7, 2345 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . La turbine étant calorifugée, $s_{c} = s_{4} - s_{3} = 7, 2345 - 6, 7714 = 0, 463 kJ K^{- 1} k g^{- 1} .$ L'état 4 est sur le même palier que $4 s$ , à sa droite : la vapeur sort moins humide qu'après une détente idéale.

3) Le travail perdu. $w_{u} = h_{4} - h_{3} = 2263, 8 - 3214, 5 = - 950, 7 kJ k g^{- 1}$ , soit une puissance fournie $D_{m} ∣ w_{u} ∣ = 9, 51 MW$ , contre $10, 96 MW$ pour la turbine idéale : la turbine réelle fournit $87 %$ du travail de la détente idéale. L'écart vaut $h_{4} - h_{4 s} = 145, 7 kJ k g^{- 1}$ . Or $4 s$ et $4$ sont sur le même palier, isobare et isotherme à $T_{f} = 314, 66 K$ , où $d h = T_{f} d s$ : $h_{4} - h_{4 s} = T_{f} (s_{4} - s_{4 s}) = T_{f} (s_{4} - s_{3}) = T_{f} s_{c} = 314, 66 \times 0, 4631 = 145, 7 kJ k g^{- 1} .$ C'est l'aire du rectangle hachuré sous le palier, entre $4 s$ et $4$ : $1, 46 MW$ . Cette énergie, que la turbine n'a pas changée en travail (frottements, tourbillons dans les aubages), est restée dans la vapeur et part dans la rivière : le condenseur évacue $20, 9 MW$ au lieu de $19, 4$ . Chaque unité d'entropie créée coûte $T_{f}$ de travail, parce que le cycle doit la rejeter à la source froide.

4) La sensibilité. $\pm 0, 1 K$ sur $Δ T$ fait $\pm 1 %$ sur la puissance cédée, soit $\pm 20, 9 kJ k g^{- 1}$ sur $h_{4}$ , et, sur le palier, $\pm 20, 9/314, 66 = \pm 0, 066 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ sur $s_{c}$ : $\pm 14 %$ . L'entropie créée est la petite différence de deux grandes quantités ; il faut des sondes étalonnées au centième de kelvin et un débit d'eau bien mesuré pour suivre l'usure d'une turbine de cette façon.

5) Les bornes. La turbine ne peut pas faire mieux que la détente idéale ( $s_{c} ⩾ 0$ , donc $h_{4} ⩾ h_{4 s}$ ), ni moins que rien ( $w_{u} ⩽ 0$ , donc $h_{4} ⩽ h_{3}$ , la limite d'une vanne). D'où $\frac{D _{m} ( h _{4 s} - h _{1} )}{D _{e} c} = 9, 30 K ⩽ Δ T ⩽ \frac{D _{m} ( h _{3} - h _{1} )}{D _{e} c} = 14, 55 K .$ Une mesure de $8, 0 K$ donnerait $h_{4} = 1846 kJ k g^{- 1} < h_{4 s}$ , donc $s_{4} < s_{3}$ et $s_{c} < 0$ : impossible. Le capteur dérive, le débit de rivière est faux, ou le condenseur n'est pas le seul à recevoir la vapeur (fuite vers un autre échangeur) : le deuxième principe sert ici à valider une mesure.

Ce que l'exercice installe. Une turbine calorifugée a $s_{c} = s_{sortie} - s_{entr e ˊ e}$ , lu comme un déplacement vers la droite sur le diagramme $(T, s)$ ; la détente idéale est une verticale. Un bilan d'énergie sur l'échangeur aval donne l'état de sortie, et le palier de condensation change l'entropie en énergie : le travail perdu vaut $T_{f} s_{c}$ , aire d'un rectangle sous le palier, chaleur supplémentaire rejetée. Le deuxième principe borne les mesures possibles.

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