La station de compression du réseau de gaz : une compression lue sur le diagramme $(P,h)$ du méthane

La stratégie. Le compresseur est un système ouvert calorifugé à pièce mobile : $w_u=h_2-h_1$. Le diagramme donne les $h$ ; l'isentrope donne l'état idéal ; le rendement, défini dans l'énoncé, donne l'état réel.

1) Le point 1 et ses isothermes. Le point $(840,4;45)$ est sur l'isotherme $15{}^{\circ }\mathrm{C}$, entre les isentropes $4,50$ et $4,55$. Cette isotherme n'est pas verticale : à $15{}^{\circ }\mathrm{C}$, $h$ passe de $840,4$ à $815,0\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ entre $45$ et $67,7\mathrm{bar}$ ($-25\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$). Or l'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de $T$ (deuxième loi de Joule) : à $45\mathrm{bar}$, le méthane n'est plus un gaz parfait, ce que confirme $Z=0,914$ (son volume massique est $9\%$ plus petit que celui du gaz parfait). Les attractions entre molécules abaissent l'énergie quand la densité croît.

2) La compression isentropique. L'isentrope $s=4,5124$ coupe l'isobare $67,7\mathrm{bar}$ en $h_{2s}=899,3\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, à $46,1{}^{\circ }\mathrm{C}$ : $$w_{u,s}=h_{2s}-h_1=899,3-840,4=58,9\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}.$$

3) La compression réelle. Par la définition du rendement, $$h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{\eta }=840,4+\frac{58,9}{0,82}=912,2\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},w_u=71,8\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}.$$ Sur l'isobare $67,7\mathrm{bar}$, ce point est à $T_2=51{}^{\circ }\mathrm{C}$. Débit : $D_m=1,0\times 10^6\times 0,7175/3600=199\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $$\mathcal{P}=D_m{w}_u=199\times 71,8\times 10^3=14,3\mathrm{MW},$$ dont $D_m(h_2-h_{2s})=2,6\mathrm{MW}$ dus à l'irréversibilité ; la station brûle une partie du gaz pour entraîner ses turbines. Calorifugé : $s_c=s_2-s_1=4,5526-4,5124=40\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. L'état réel est à droite de l'isentrope : plus d'enthalpie, plus d'entropie à la même pression.

4) Le gaz parfait se trompe. Avec $\gamma =1,31$, $T_{2s}=288,15\times (67,7/45{)}^{0,2366}=317,4\mathrm{K}$ ($44{}^{\circ }\mathrm{C}$) et $w_{u,s}=c_p(T_{2s}-T_1)=2204\times 29,2=64,4\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ : $9\%$ de trop, soit environ $1,3\mathrm{MW}$ sur la puissance réelle. L'erreur ne vient pas de la loi de Laplace mais du modèle : la température de sortie est presque juste ($44$ contre $46{}^{\circ }\mathrm{C}$), l'enthalpie non, parce que le gaz réel comprimé stocke moins d'enthalpie que le gaz parfait (isothermes inclinées). À $45\mathrm{bar}$, on dimensionne avec le diagramme, pas avec $PV=nRT$.

5) L'aéroréfrigérant. Échangeur : $w_u=0$, $q=h_3-h_2=882,9-912,2=-29,3\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, soit $5,8\mathrm{MW}$ cédés à l'air ambiant. Le point 3 est à gauche du point 2 sur la même isobare : le refroidissement se lit, lui aussi, comme un segment horizontal.

Ce que l'exercice installe. Lire une machine réelle sur le diagramme $(P,h)$ : placer un état (isobare, isotherme), suivre une isentrope, en déduire l'état réel par un rendement défini dans l'énoncé, lire $w_u$ et $q$ en segments horizontaux. Des isothermes non verticales signalent que le gaz parfait ne vaut plus : on en chiffre l'erreur (ici $9\%$ du travail) avant de l'employer.