thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

La turbine à gaz d'une centrale : le cycle de Joule-Brayton sur le diagramme entropique

Systèmes ouverts en régime stationnaire · G. Machines réelles sur les diagrammes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une turbine à gaz de centrale aspire l'air ambiant à $P_{1} = 1, 0 bar$ et $T_{1} = 288, 15 K$ (état 1) et le comprime dans un compresseur calorifugé jusqu'à $P_{2} = 18 bar$ (rapport de pression $r = 18$ ). Dans la chambre de combustion, du gaz naturel brûle à pression constante et porte les gaz à $T_{3} = 1500 K$ ; ils se détendent dans la turbine calorifugée jusqu'à $1, 0 bar$ (état 4), puis s'échappent dans l'atmosphère. La turbine entraîne le compresseur et l'alternateur.

On adopte le modèle de l'air : le fluide est de l'air, gaz parfait de $c_{p}$ constant (données communes : $c_{p} = 1005 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , $γ = 1, 40$ , constante massique $\frac{R}{M} = 287 J K^{- 1} k g^{- 1}$ ; la lettre $r$ est réservée au rapport de pression) ; la combustion est un transfert thermique $q_{c}$ reçu à pression constante ; l'échappement suivi de l'aspiration d'air frais est remplacé par un refroidissement isobare fictif $4 \to 1$ , l'atmosphère jouant le rôle de source froide ; $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ sont négligés. Allure donnée : sur le diagramme $(T, s)$ , les isobares d'un gaz parfait de $c_{p}$ constant sont des exponentielles $T = T_{0} e^{(s - s_{0}) / c_{p}}$ , qui se déduisent les unes des autres par une translation horizontale.

1) Le compresseur et la turbine sont d'abord supposés réversibles. Calculer $T_{2}$ et $T_{4}$ , les travaux massiques $w_{c}$ et $w_{t}$ , le travail net, $q_{c}$ et le rendement. Montrer que $η = 1 - r^{(1 - γ) / γ}$ et comparer au rendement de Carnot entre $T_{1}$ et $T_{3}$ .

2) Tracer le cycle sur le diagramme $(T, s)$ et indiquer son sens de parcours. Expliquer sur le diagramme pourquoi le rendement reste loin de celui de Carnot.

3) Cas limite. On constate que $T_{2} ≃ T_{4}$ . Montrer qu'à $T_{1}$ et $T_{3}$ fixées, le travail net est maximal quand $T_{2} = T_{4} = T_{1} T_{3}$ ; calculer le rapport de pression correspondant et ce travail maximal. Que deviennent le travail et le rendement quand $r$ augmente jusqu'à ce que $T_{2}$ atteigne $T_{3}$ ?

4) Les machines réelles ne sont pas réversibles. On définit le rendement isentropique du compresseur, $η_{c} = \frac{h _{2} - h _{1}}{h _{2^{'}} - h _{1}} = 0, 88$ , et celui de la turbine, $η_{t} = \frac{h _{3} - h _{4^{'}}}{h _{3} - h _{4}} = 0, 90$ , où $2^{'}$ et $4^{'}$ sont les états de sortie réels et 2, 4 ceux de la question 1. Calculer $T_{2^{'}}$ , $T_{4^{'}}$ , le travail net et le rendement ; placer $2^{'}$ et $4^{'}$ sur le diagramme. Reprendre le calcul du travail net avec $η_{c} = η_{t} = 0, 65$ , ordre de grandeur des premières machines. Conclure.

5) La centrale doit fournir $280 MW$ de travail net. Calculer le débit d'air (avec les rendements $0, 88$ et $0, 90$ ) et la température des gaz d'échappement. Que peut-on en faire ?

Corrigé

La stratégie. Compresseur et turbine calorifugés : $w_{u} = Δ h = c_{p} Δ T$ ; s'ils sont réversibles, ils sont isentropiques, et la loi de Laplace donne les températures. Sur le diagramme, ce sont deux verticales entre deux isobares.

1) Le cycle idéal. Avec $a = r^{(γ - 1) / γ} = 1 8^{2/7} = 2, 2838$ : $T_{2} = a T_{1} = 658, 1 K$ et $T_{4} = T_{3} / a = 656, 8 K$ . Puis ( $kJ k g^{- 1}$ ) $w_{c} = c_{p} (T_{2} - T_{1}) = 371, 8, w_{t} = c_{p} (T_{4} - T_{3}) = - 847, 4, q_{c} = c_{p} (T_{3} - T_{2}) = 846, 1.$ Le travail net fourni vaut $847, 4 - 371, 8 = 475, 6 kJ k g^{- 1}$ et $η = 475, 6/846, 1 = 0, 562$ . En général, $q_{f} = c_{p} (T_{1} - T_{4})$ et $η = 1 + \frac{q _{f}}{q _{c}} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}} = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{a ( T _{4} - T _{1} )} = 1 - \frac{1}{a} = 1 - r^{(1 - γ) / γ},$ puisque $T_{2} = a T_{1}$ et $T_{3} = a T_{4}$ : le rendement ne dépend que du rapport de pression. Carnot entre $288$ et $1500 K$ donnerait $0, 808$ .

2) Sur le diagramme. On prend $s = 0$ en 1 : l'isobare $1 bar$ est $T = T_{1} e^{s / c_{p}}$ , l'isobare $18 bar$ s'en déduit par une translation de $- \frac{R}{M} ln r = - 287 ln 18 J K^{- 1} k g^{- 1} = - 0, 830 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . Le cycle : verticale $1 \to 2$ , montée sur l'isobare haute $2 \to 3$ , verticale $3 \to 4$ , descente sur l'isobare basse $4 \to 1$ ; sens horaire : moteur. Le fluide reçoit sa chaleur de $658$ à $1500 K$ , à la température moyenne $\frac{q _{c}}{s _{3} - s _{2}} = \frac{846 , 1}{c _{p} ln ( 1500/658 , 1 )} = 1021, 9 K$ , et la rejette de $657$ à $288 K$ , en moyenne à $447, 4 K$ : $η = 1 - 447, 4/1 021, 9 = 0, 562$ . Le cycle est un « triangle » curviligne, bien plus petit que le rectangle de Carnot entre $288$ et $1500 K$ , qui supposerait de recevoir toute la chaleur à $1500 K$ .

3) Le travail maximal. Avec $a = T_{2} / T_{1}$ , le travail fourni vaut $w (a) = c_{p} (T_{3} - T_{3} / a - a T_{1} + T_{1})$ , et $\frac{d w}{d a} = c_{p} (\frac{T _{3}}{a ^{2}} - T_{1})$ s'annule pour $a = T_{3} / T_{1}$ , soit $T_{2} = T_{1} T_{3} = 657, 4 K = T_{4}$ (maximum : $w$ décroît ensuite). Le rapport de pression correspondant est $r = (T_{3} / T_{1})^{γ / [2 (γ - 1)]} = 5, 20 6^{1, 75} = 17, 9$ , et $w_{m a x} = c_{p} (T_{3} - T_{1})^{2} = 1005 \times (38, 730 - 16, 975)^{2} = 475, 6 kJ k g^{- 1} :$ la machine étudiée est réglée au travail maximal par kilogramme d'air, ce qui réduit le débit et la taille pour une puissance donnée. Si $r$ augmente encore, $η = 1 - 1/ a$ continue de croître, mais le cycle s'amincit : quand $T_{2} \to T_{3}$ ( $r \to (T_{3} / T_{1})^{γ / (γ - 1)} = 322$ ), $q_{c} \to 0$ , $w \to 0$ et $η \to 1 - T_{1} / T_{3}$ , la valeur de Carnot, pour une machine qui ne produit plus rien.

4) Les machines réelles. Par les définitions données : $w_{c}^{'} = w_{c} / η_{c} = 371, 8/0, 88 = 422, 5 kJ k g^{- 1}$ , d'où $T_{2^{'}} = 288, 15 + 422, 5/1, 005 = 708, 5 K$ ; $∣ w_{t}^{'} ∣ = 0, 90 \times 847, 4 = 762, 7 kJ k g^{- 1}$ , d'où $T_{4^{'}} = 1500 - 762, 7/1, 005 = 741, 1 K$ . Travail net $762, 7 - 422, 5 = 340, 2 kJ k g^{- 1}$ , $q_{c}^{'} = c_{p} (T_{3} - T_{2^{'}}) = 795, 5 kJ k g^{- 1}$ et $η^{'} = \frac{340 , 2}{795 , 5} = 0, 428.$ Sur le diagramme, $2^{'}$ et $4^{'}$ sont sur les mêmes isobares que 2 et 4, à leur droite : $s_{c, comp} = c_{p} ln (T_{2^{'}} / T_{2}) = 74 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , $s_{c, turb} = c_{p} ln (T_{4^{'}} / T_{4}) = 121 J K^{- 1} k g^{- 1}$ ; les détentes réelles se dessinent en pointillé. Des pertes de $10$ à $12 %$ dans chaque machine coûtent $28, 5 %$ du travail net : dans le cycle idéal, le compresseur absorbait déjà $371, 8/847, 4 = 44 %$ du travail de la turbine ; avec ces machines réelles, il en absorbe $422, 5/762, 7 = 55 %$ , et le travail net est la petite différence de deux grands nombres. Avec $η_{c} = η_{t} = 0, 65$ : $w_{c}^{'} = 572, 0$ et $∣ w_{t}^{'} ∣ = 550, 8 kJ k g^{- 1}$ , travail net négatif ( $- 21 kJ k g^{- 1}$ ) : la turbine ne peut même pas entraîner son compresseur. C'est pourquoi la turbine à gaz n'est devenue une machine motrice qu'avec des compresseurs et des turbines de très bons rendements, et des matériaux supportant plus de $1000 K$ .

5) La centrale. $D_{m} = \frac{280 \times 1 0 ^{6}}{340 , 2 \times 1 0 ^{3}} = 823 kg s^{- 1}$ d'air. L'échappement sort à $741 K$ , soit $468^{\circ} C$ , en emportant $c_{p} (T_{4^{'}} - T_{1}) = 455 kJ k g^{- 1}$ , $375 MW$ : plus que le travail produit, et à une température assez haute pour vaporiser de l'eau sous pression. Une chaudière de récupération et un cycle à vapeur placés derrière la turbine à gaz forment un cycle combiné.

Ce que l'exercice installe. Le cycle de Joule-Brayton se trace sur le diagramme $(T, s)$ entre deux isobares exponentielles translatées, avec deux verticales ; ses bilans d'organes et la loi de Laplace donnent $η = 1 - r^{(1 - γ) / γ}$ , loin de Carnot parce que la chaleur est reçue sur une large plage de température. Le travail net est maximal pour $T_{2} = T_{4} = T_{1} T_{3}$ ; le rendement et le travail ne sont pas maximaux pour le même $r$ . Le gros travail de compression rend le cycle très sensible aux irréversibilités, qui déplacent les états de sortie vers la droite.

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