thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le chauffe-eau thermodynamique au CO $_{2}$ : battre Carnot ?

Systèmes ouverts en régime stationnaire · G. Machines réelles sur les diagrammes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un chauffe-eau thermodynamique chauffe l'eau sanitaire d'une maison de $15$ à $65^{\circ} C$ en un seul passage, en prenant de la chaleur à l'air extérieur. Son fluide est le dioxyde de carbone, dont le point critique est à $31, 0^{\circ} C$ et $73, 8 bar$ . Le cycle : évaporation à $0^{\circ} C$ ( $34, 85 bar$ ) jusqu'à la vapeur saturante (état 1) ; compression calorifugée jusqu'à $100 bar$ , refoulement relevé à $90^{\circ} C$ (état 2) ; « refroidisseur de gaz » sous $100 bar$ , où le CO $_{2}$ chauffe l'eau à contre-courant et en sort à $20^{\circ} C$ (état 3) ; détendeur calorifugé jusqu'à $34, 85 bar$ (état 4). Sous $100 bar$ , au-dessus de la pression critique, le CO $_{2}$ se refroidit sans palier de condensation.

Extrait des tables du CO $_{2}$ . Saturation à $0^{\circ} C$ ( $34, 85 bar$ ) : $h_{ℓ} = 200, 0$ , $h_{v} = 430, 9$ , $s_{ℓ} = 1, 0000$ , $s_{v} = 1, 8453$ . Isobare $100 bar$ :

$T$ ( $^{\circ} C$ )	$h$	$s$	$T$ ( $^{\circ} C$ )	$h$	$s$
$20$	$242, 7$	$1, 1251$	$55$	$407, 8$	$1, 6525$
$30$	$271, 6$	$1, 2220$	$60$	$425, 0$	$1, 7045$
$40$	$313, 0$	$1, 3563$	$70$	$450, 7$	$1, 7804$
$45$	$348, 3$	$1, 4677$	$80$	$470, 8$	$1, 8384$
$50$	$384, 1$	$1, 5795$	$90$	$488, 3$	$1, 8872$

Sous $100 bar$ , l'état de même entropie que l'état 1 est à $81, 3^{\circ} C$ , $h = 473, 3 kJ k g^{- 1}$ .

1) Calculer le titre $x_{4}$ et $s_{4}$ , puis tracer le cycle sur le diagramme $(T, s)$ . Calculer $w$ , $q_{c}$ , $q_{f}$ et le coefficient de performance $COP = ∣ q_{c} ∣ / w$ . Que vaudrait-il avec une compression isentropique ? Le comparer au COP d'une machine de Carnot qui prendrait la chaleur à $0^{\circ} C$ et la céderait à $65^{\circ} C$ . Paradoxe ?

2) On considère une machine réversible qui prend de la chaleur à une source à $T_{f} = 273, 15 K$ et chauffe de l'eau de $T_{1} = 288, 15 K$ à $T_{2} = 338, 15 K$ . Par un bilan d'entropie, montrer que son COP vaut $\frac{T ˉ}{T ˉ - T _{f}}$ avec $T ˉ = \frac{T _{2} - T _{1}}{ln ( T _{2} / T _{1} )}$ . Calculer $T ˉ$ et ce COP ; conclure.

3) À contre-courant, l'eau qui sort à $65^{\circ} C$ croise le CO $_{2}$ qui entre à $90^{\circ} C$ . Par un bilan d'énergie entre le bout froid et une section quelconque, calculer la température de l'eau en face de chaque température du CO $_{2}$ du tableau ; tracer les deux profils et commenter l'écart de température. Calculer la température moyenne $\frac{∣ q _{c} ∣}{s _{2} - s _{3}}$ à laquelle le CO $_{2}$ cède sa chaleur, et l'entropie créée dans le refroidisseur par kilogramme de CO $_{2}$ .

4) Un chauffe-eau au R134a devrait condenser son fluide au-dessus de $65^{\circ} C$ , par exemple à $70^{\circ} C$ ; avec la même évaporation et une compression isentropique, les tables donnent un COP de $3, 30$ . Expliquer pourquoi le CO $_{2}$ fait mieux.

5) Un ballon de $200 L$ d'eau (masse volumique $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ ) est chauffé de $15$ à $65^{\circ} C$ en $4 h$ . Calculer l'énergie reçue par l'eau, l'électricité consommée, la puissance thermique, le débit de CO $_{2}$ et la puissance électrique.

Corrigé

La stratégie. Les bilans d'organes donnent le COP comme dans tout cycle à compression de vapeur. Le paradoxe se lève en écrivant le deuxième principe avec la vraie source chaude : de l'eau qui s'échauffe, pas un thermostat.

1) Le cycle et le paradoxe. Détendeur : $h_{4} = h_{3} = 242, 7$ , $x_{4} = \frac{242 , 7 - 200 , 0}{230 , 9} = 0, 1849$ , $s_{4} = 1, 0000 + 0, 1849 \times 0, 8453 = 1, 1563$ . Sur le diagramme $(T, s)$ : palier $4 \to 1$ à $0^{\circ} C$ , compression $1 \to 2$ vers la droite, puis l'isobare $100 bar$ descend au-dessus de la cloche, sans palier, de $90$ à $20^{\circ} C$ , avec une partie presque horizontale vers $40$ - $50^{\circ} C$ ; enfin le laminage $3 \to 4$ en pointillé. Sens antihoraire. Bilans ( $kJ k g^{- 1}$ ) : $w = 488, 3 - 430, 9 = 57, 4$ ; $q_{c} = 242, 7 - 488, 3 = - 245, 6$ ; $q_{f} = 430, 9 - 242, 7 = 188, 2$ ; somme nulle. $COP = \frac{245 , 6}{57 , 4} = 4, 28; COP_{s} = \frac{473 , 3 - 242 , 7}{473 , 3 - 430 , 9} = \frac{230 , 6}{42 , 4} = 5, 44.$ Une machine de Carnot entre $273, 15$ et $338, 15 K$ aurait $\frac{338 , 15}{65} = 5, 20$ : la machine à compression isentropique fait mieux que Carnot. Paradoxe apparent.

2) La vraie borne. Par kilogramme d'eau : $q = c (T_{2} - T_{1}) = 209, 0 kJ k g^{- 1}$ et $Δ s_{eau} = c ln (T_{2} / T_{1}) = 0, 6688 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . Le fluide d'une machine réversible revient à son état sur un tour sans créer d'entropie : l'entropie qu'il reçoit de la source froide, $q_{f} / T_{f}$ , est exactement celle qu'il donne à l'eau, d'où $q_{f} = T_{f} Δ s_{eau}$ . Avec $w = q - q_{f}$ : $COP_{m a x} = \frac{q}{q - T _{f} Δ s _{eau}} = \frac{T ˉ}{T ˉ - T _{f}}, T ˉ = \frac{q}{Δ s _{eau}} = \frac{T _{2} - T _{1}}{ln ( T _{2} / T _{1} )} = 312, 5 K (39^{\circ} C) .$ $COP_{m a x} = 312, 5/ (312, 5 - 273, 15) = 312, 5/39, 35 = 7, 94$ . Plus de paradoxe : le « Carnot à $65^{\circ} C$ » suppose que toute la chaleur est livrée à $65^{\circ} C$ , alors que l'eau froide n'en demande qu'une petite part à cette température. La machine réelle atteint $4, 28/7, 94 = 54 %$ de la vraie borne.

3) Les profils. Entre le bout froid (CO $_{2}$ à $20^{\circ} C$ , eau à $15^{\circ} C$ ) et une section où le CO $_{2}$ est à $T$ , la chaleur cédée par le CO $_{2}$ , $h (T) - h_{3}$ , est reçue par l'eau : $T_{eau} = 15 + 50 \frac{h ( T ) - 242 , 7}{245 , 6}$ . D'où ( $^{\circ} C$ ) :

CO $_{2}$	eau	écart	CO $_{2}$	eau	écart
$20$	$15, 0$	$5, 0$	$55$	$48, 6$	$6, 4$
$30$	$20, 9$	$9, 1$	$60$	$52, 1$	$7, 9$
$40$	$29, 3$	$10, 7$	$70$	$57, 3$	$12, 7$
$45$	$36, 5$	$8, 5$	$80$	$61, 4$	$18, 6$
$50$	$43, 8$	$6, 2$	$90$	$65, 0$	$25, 0$

Les deux courbes montent ensemble : l'écart reste entre $5$ et $25 K$ , avec un resserrement vers $50^{\circ} C$ , où le CO $_{2}$ supercritique cède beaucoup d'enthalpie pour peu de degrés (sa capacité thermique y est très grande). Le CO $_{2}$ cède sa chaleur à $\frac{245 , 6}{1 , 8872 - 1 , 1251} = 322, 3 K$ ( $49^{\circ} C$ ) en moyenne, $10 K$ seulement au-dessus de l'eau. Par kilogramme de CO $_{2}$ , il passe $245, 6/209, 0 = 1, 175 kg$ d'eau ; l'échangeur, calorifugé, crée $s_{c} = 1, 175 \times 0, 6688 + (1, 1251 - 1, 8872) = 0, 024 kJ K^{- 1}$ par kilogramme de CO $_{2}$ , moins que le compresseur ( $s_{2} - s_{1} = 0, 042$ ) et que le détendeur ( $s_{4} - s_{3} = 0, 031$ ).

4) Pourquoi le CO $_{2}$ . Un fluide qui condense cède sa chaleur sur un palier, au-dessus de la température la plus haute de l'eau : vers $70^{\circ} C$ , alors que l'eau en demande en moyenne $39^{\circ} C$ . L'écart de température moyen aux échangeurs vaut alors $30 K$ au lieu de $10$ , et le travail perdu suit : COP de $3, 30$ même avec une compression isentropique, contre $5, 44$ . Le CO $_{2}$ supercritique se refroidit en glissant en température, comme l'eau se réchauffe : c'est un fluide adapté au chauffage d'eau sanitaire, pas au chauffage par plancher, où l'eau ne monte que de quelques degrés.

5) Le ballon. $Q = 200 \times 4, 18 \times 50 = 41800 kJ = 11, 6 kWh$ ; électricité : $11, 6/4, 28 = 2, 7 kWh$ , contre $11, 6 kWh$ pour un chauffe-eau à résistance. En $4 h$ : $2, 90 kW$ thermiques, $D_{m} = 2 903/245, 6 = 11, 8 g s^{- 1}$ de CO $_{2}$ et $0, 68 kW$ électriques.

Ce que l'exercice installe. La borne de Carnot se calcule avec les vraies sources : pour de l'eau chauffée de $T_{1}$ à $T_{2}$ , le bilan d'entropie donne $COP_{m a x} = T ˉ / (T ˉ - T_{f})$ avec $T ˉ = q /Δ s$ , la température moyenne. Le diagramme $(T, s)$ montre un cycle transcritique sans palier haut, et les profils de température à contre-courant disent pourquoi le CO $_{2}$ convient à l'eau chaude sanitaire : il cède sa chaleur en glissant, à quelques kelvins au-dessus de l'eau.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

25 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 15 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →

Le chauffe-eau thermodynamique au CO2​ : battre Carnot ?

Énoncé

Corrigé

Le chauffe-eau thermodynamique au CO $_{2}$ : battre Carnot ?