thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le réfrigérateur-congélateur au R600a : le même cycle sur le diagramme $(P, h)$ et sur le diagramme $(T, s)$

Systèmes ouverts en régime stationnaire · G. Machines réelles sur les diagrammes · niveau 2

Énoncé

Les réfrigérateurs domestiques européens emploient l'isobutane (R600a). Dans un réfrigérateur-congélateur, le fluide s'évapore à $- 25^{\circ} C$ dans l'évaporateur du congélateur, qui est à $- 18^{\circ} C$ , et en sort en vapeur à $- 15^{\circ} C$ (état 1) ; le compresseur, supposé calorifugé, le refoule à $70^{\circ} C$ (relevé, état 2) ; le condenseur, grille noire au dos de l'appareil, cède la chaleur à la cuisine, à $20^{\circ} C$ , en condensant le fluide à $40^{\circ} C$ , jusqu'au liquide saturant (état 3) ; un tube capillaire calorifugé le lamine jusqu'à la pression de l'évaporateur (état 4). Les pertes de charge dans les échangeurs sont négligées.

Extrait des tables de l'isobutane. À saturation :

$T$ ( $^{\circ} C$ )	$P$ (bar)	$h_{ℓ}$	$h_{v}$	$s_{ℓ}$	$s_{v}$
$- 25$	$0, 5843$	$144, 4$	$521, 0$	$0, 7874$	$2, 3048$
$40$	$5, 312$	$296, 3$	$607, 8$	$1, 3263$	$2, 3211$

Vapeur :

état	$P$ (bar)	$T$ ( $^{\circ} C$ )	$h$	$s$
1	$0, 5843$	$- 15, 0$	$535, 9$	$2, 3637$
$2 s$ (même $s$ que 1)	$5, 312$	$47, 0$	$621, 3$	$2, 3637$
2	$5, 312$	$70, 0$	$666, 3$	$2, 4995$

1) Calculer le titre $x_{4}$ et l'entropie massique $s_{4}$ . Tracer le cycle sur le diagramme $(P, h)$ et donner son sens de parcours.

2) Calculer le transfert thermique massique $q_{f}$ reçu dans l'évaporateur, le travail $w$ du compresseur, le transfert $q_{c}$ du condenseur, et vérifier leur somme. En déduire l'efficacité frigorifique $e_{f}$ . En hiver, combien la cuisine reçoit-elle par joule électrique ?

3) Calculer l'efficacité de Carnot entre les températures du fluide, puis entre le congélateur et la cuisine, et les comparer à $e_{f}$ . Où passent les écarts ?

4) Tracer le cycle sur le diagramme $(T, s)$ . Calculer l'entropie massique créée dans le compresseur et dans le capillaire. En comparant le capillaire à une détente isentropique $3 \to 4 s$ jusqu'à la même pression, montrer que le laminage diminue $q_{f}$ de $T_{e} s_{c, lam}$ , où $T_{e}$ est la température d'évaporation ; calculer cette perte.

5) Pour extraire $100 W$ du congélateur, calculer le débit de fluide et la puissance du compresseur. Le compresseur tourne $40 %$ du temps : estimer la consommation annuelle.

Corrigé

La stratégie. Quatre organes, quatre bilans $Δ h = w_{u} + q$ lus en abscisses sur le diagramme $(P, h)$ ; les bilans d'entropie des deux organes calorifugés, $s_{c} = Δ s$ , lus en déplacements vers la droite sur le diagramme $(T, s)$ .

1) Le cycle sur (P,h). Laminage : $h_{4} = h_{3} = 296, 3 kJ k g^{- 1}$ , sous $0, 5843 bar$ (une pression inférieure à l'atmosphère : une fuite ferait entrer de l'air), dans la cloche : $x_{4} = \frac{296 , 3 - 144 , 4}{521 , 0 - 144 , 4} = 0, 4033, s_{4} = 0, 7874 + 0, 4033 \times 1, 5174 = 1, 3994 kJ K^{- 1} k g^{- 1} .$ Sur le diagramme $(P, h)$ : $4 \to 1$ horizontal sous la cloche, puis un peu dans la vapeur ; $1 \to 2$ montant, à droite de l'isentrope (qui mène à $2 s$ ) ; $2 \to 3$ horizontal (désurchauffe de $70$ à $40^{\circ} C$ , puis condensation) ; $3 \to 4$ vertical. Sens antihoraire : récepteur.

2) Les bilans ( $kJ k g^{- 1}$ ). Évaporateur ( $w_{u} = 0$ ) : $q_{f} = h_{1} - h_{4} = 239, 6$ . Compresseur calorifugé : $w = h_{2} - h_{1} = 130, 4$ . Condenseur : $q_{c} = h_{3} - h_{2} = - 370, 0$ . Capillaire : $w_{u} = q = 0$ . Somme nulle, comme l'exige le retour de $h$ à sa valeur initiale. $e_{f} = \frac{q _{f}}{w} = \frac{239 , 6}{130 , 4} = 1, 84,$ et la cuisine reçoit $∣ q_{c} ∣ / w = e_{f} + 1 = 2, 84$ joules par joule électrique : en hiver, un réfrigérateur chauffe la cuisine mieux qu'un radiateur électrique.

3) Les bornes de Carnot. Entre les températures du fluide ( $248, 15$ et $313, 15 K$ ) : $e_{f, C} = \frac{248 , 15}{65} = 3, 82$ , et la machine en atteint $48 %$ . Entre le congélateur et la cuisine ( $255, 15$ et $293, 15 K$ ) : $\frac{255 , 15}{38} = 6, 71$ , dont elle n'atteint que $27 %$ . L'écart entre $6, 71$ et $3, 82$ vient des écarts de température aux échangeurs ( $7 K$ à l'évaporateur, $20 K$ au condenseur, qui n'est refroidi que par convection naturelle) ; celui entre $3, 82$ et $1, 84$ , du compresseur, du laminage et de la désurchauffe de la vapeur.

4) Le cycle sur (T,s). Le palier bas à $- 25^{\circ} C$ va de 4 jusqu'à la courbe de rosée, puis l'isobare monte légèrement jusqu'à 1 ; la compression $1 \to 2$ part vers la droite (non verticale) ; l'isobare haute descend de $70^{\circ} C$ à la courbe de rosée en formant une corne au-dessus du palier de $40^{\circ} C$ , puis suit le palier jusqu'à 3 ; le laminage $3 \to 4$ est un pointillé vers la droite. Sens antihoraire. Organes calorifugés, $s_{e} = 0$ : $s_{c, comp} = s_{2} - s_{1} = 2, 4995 - 2, 3637 = 0, 136 kJ K^{- 1} k g^{- 1},$ $s_{c, lam} = s_{4} - s_{3} = 1, 3994 - 1, 3263 = 0, 073 kJ K^{- 1} k g^{- 1} .$ Une détente isentropique $3 \to 4 s$ (une turbine) aboutirait sur le même palier en $s_{4 s} = s_{3}$ , à gauche de 4. Sur ce palier, $d h = T_{e} d s$ , donc $h_{4} - h_{4 s} = T_{e} (s_{4} - s_{3}) = T_{e} s_{c, lam} = 248, 15 \times 0, 0731 = 18, 1 kJ k g^{- 1}$ : l'évaporateur recevrait $18, 1 kJ k g^{- 1}$ de plus, soit $7, 6 %$ de $q_{f}$ perdus dans le capillaire. C'est la même méthode que pour la turbine dont on mesurait l'entropie créée au condenseur : sur un palier, l'entropie créée se change en énergie au taux $T$ . On ne remplace pas pour autant le capillaire par une turbine : elle ne rapporterait que quelques watts.

5) Le réfrigérateur au quotidien. $D_{m} = \frac{100}{239 , 6 \times 1 0 ^{3}} = 0, 417 g s^{- 1}$ ; puissance du compresseur $D_{m} w = 54 W$ ; la grille arrière rejette $154 W$ . En marche $40 %$ du temps : $54 W \times 0, 40 \times 8760 h = 189 kWh$ par an, l'ordre de grandeur des étiquettes énergétiques des réfrigérateurs-congélateurs (de $150$ à $300 kWh$ par an), sans compter le rendement du moteur. Ouvrir la porte ou coller l'appareil contre un mur (condenseur mal ventilé, condensation plus chaude) augmente cette consommation.

Ce que l'exercice installe. Placer un cycle réel sur les deux diagrammes : le $(P, h)$ pour les énergies (longueurs horizontales, laminage vertical), le $(T, s)$ pour les pertes (compression vers la droite, laminage en pointillé vers la droite, corne de désurchauffe). Le sens antihoraire dit le récepteur ; $∣ q_{c} ∣ / w = e_{f} + 1$ . Le laminage coûte $T_{e} s_{c, lam}$ de froid, lu sur le palier d'évaporation ; l'écart à Carnot se décompose entre échangeurs et organes.

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