Turbine à gaz : le rapport de pression du travail maximal

Systèmes ouverts en régime stationnaire · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une turbine à gaz fonctionne selon le cycle de Joule-Brayton idéal : air gaz parfait ( $γ = 1, 40$ , $c_{p} = 1005 J / K / kg$ ), compression et détente isentropiques de rapport $r$ , entrée du compresseur à $T_{1} = 288, 15 K$ , entrée de la turbine à $T_{3} = 1300 K$ , chaleur reçue et cédée à pression constante. On pose $a = r^{(γ - 1) / γ}$ .

Exprimer le travail net fourni par kilogramme d'air, $w (a)$ , et le rendement $η (a)$ .
Pour quel rapport de pression le travail est-il maximal ? Calculer ce travail et le rendement correspondant.
Que deviennent le travail et le rendement aux deux bornes, $r = 1$ et $T_{2} = T_{3}$ ? Quel compromis le constructeur doit-il faire ?

Corrigé

1. Laplace : $T_{2} = a T_{1}$ , $T_{4} = T_{3} / a$ . Le travail fourni est la différence du travail de la turbine et de celui du compresseur :

$w (a) = c_{p} (T_{3} - T_{4}) - c_{p} (T_{2} - T_{1}) = c_{p} (T_{3} - \frac{T _{3}}{a} - a T_{1} + T_{1}), η = 1 - \frac{1}{a} .$

2. $\frac{d w}{d a} = c_{p} (\frac{T _{3}}{a ^{2}} - T_{1}) = 0$ pour $a = T_{3} / T_{1}$ , soit $T_{2} = T_{4} = T_{1} T_{3} = 612 K$ et

$r_{opt} = (\frac{T _{3}}{T _{1}})^{\frac{γ}{2 ( γ - 1 )}} = 4, 51 1^{1, 75} = 14, 0, w_{m a x} = c_{p} (T_{3} - T_{1})^{2} = 366 kJ / kg,$

avec un rendement $η = 1 - T_{1} / T_{3} = 0, 529$ .

3. Pour $r = 1$ , rien n'est comprimé : $w = 0$ , $η = 0$ . Quand $T_{2} \to T_{3}$ ( $a = T_{3} / T_{1}$ , $r = 195$ ), la chaleur reçue tend vers zéro : $w \to 0$ mais $η \to 1 - T_{1} / T_{3} = 0, 778$ , la valeur de Carnot. Le rendement croît toujours avec $r$ , le travail par kilogramme passe par un maximum : au-delà de $r_{opt}$ , on gagne un peu de rendement ( $0, 58$ à $r = 20$ ) en perdant peu de travail ( $359 kJ / kg$ ), mais il faut plus de débit, donc une machine plus grosse, pour la même puissance.