Barreau chauffé par effet Joule

L'effet Joule dissipe la puissance volumique $p_v=\frac{j^2}{\gamma }$ (loi d'Ohm locale). En régime stationnaire, le bilan de la tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ donne $\frac{\mathrm{d}{j}_Q}{\mathrm{d}x}=p_v$, et avec la loi de Fourier $\lambda \frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}+p_v=0$. En intégrant deux fois et en imposant $T(0)=T(L)=T_0$ :

$$T(x)=T_0+\frac{p_v}{2\lambda }x(L-x).$$

Le profil est parabolique, maximal au centre $x=L/2$ : $T_{\max }=T_0+\frac{p_v{L}^2}{8\lambda }=T_0+\frac{j^2{L}^2}{8\gamma \lambda }$. Le flux n'est pas conservé (il est nul au centre et croît vers les extrémités) : on ne peut pas parler de la résistance thermique du barreau.