Établir l'équation de la diffusion avec source : le fil chauffant

Diffusion thermique · niveau 2

Énoncé

Un fil de nichrome de diamètre $0.50 mm$ (résistivité électrique $ρ_{e} = 1.1 \times 1 0^{- 6} Ω m$ , conductivité thermique $λ = 11.3 W / m / K$ ) est parcouru par un courant de $4.0 A$ uniformément réparti. La température ne dépend que de la distance $r$ à l'axe et du temps.

Exprimer la puissance volumique dissipée par effet Joule et la calculer.
Par un bilan sur la coquille $[r, r + d r]$ de longueur $ℓ$ , établir l'équation de la diffusion thermique avec source en géométrie cylindrique : $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{λ}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r}) + p_{v}$ .
En régime stationnaire, établir $T (r)$ et l'écart entre l'axe et la surface. Calculer la puissance dissipée par mètre et cet écart. Conclure.

Corrigé

1. $j = \frac{I}{π a ^{2}} = \frac{4 , 0}{π \times ( 2 , 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}} = 2.04 \times 1 0^{7} A / m^{2}$ et $p_{v} = \frac{j ^{2}}{γ} = ρ_{e} j^{2} = 4.6 \times 1 0^{8} W / m^{3}$ .

2. La coquille a pour volume $2 π r ℓ d r$ . Pendant $d t$ : $ρ c 2 π r ℓ d r \frac{\partial T}{\partial t} d t = [Φ (r) - Φ (r + d r)] d t + p_{v} 2 π r ℓ d r d t$ , avec $Φ = 2 π r ℓ j_{r}$ . D'où $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{r} )}{\partial r} + p_{v}$ , et avec $j_{r} = - λ \frac{\partial T}{\partial r}$ l'équation annoncée.

3. En régime stationnaire, $\frac{d}{d r} (r \frac{d T}{d r}) = - \frac{p _{v} r}{λ}$ , donc $r \frac{d T}{d r} = - \frac{p _{v} r ^{2}}{2 λ}$ (la constante est nulle pour que la dérivée reste finie sur l'axe), et $T (r) = T (0) - \frac{p _{v} r ^{2}}{4 λ}$ . Par mètre : $P^{'} = p_{v} π a^{2} = 90 W / m$ ; écart $\frac{p _{v} a ^{2}}{4 λ} = \frac{P ^{'}}{4 π λ} = 0.63 K$ . Le fil est pratiquement isotherme : sa température est fixée par ses échanges avec l'air, pas par la conduction interne.