thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

La croûte continentale, un radiateur de granite : flux de surface et production de chaleur

Diffusion thermique · B. Bilan local d'énergie interne · niveau 2

Énoncé

Les roches de la croûte continentale contiennent de l'uranium, du thorium et du potassium radioactifs : leur désintégration y libère une puissance volumique $A$ , de l'ordre du microwatt par mètre cube. On modélise une province géologique stable : axe $z$ vertical orienté vers le bas, origine la surface. Une couche superficielle d'épaisseur $b$ produit la puissance volumique $A$ uniforme (celle de la roche qui affleure) ; plus bas, la croûte ne produit rien et reçoit d'en dessous une densité de flux $q_{r}$ , dirigée vers le haut. Le régime est stationnaire, le transfert vertical. On note $q (z) = - j_{z} (z)$ la densité de flux qui remonte ( $q > 0$ ). Roches : $λ = 2, 5 W m^{- 1} K^{- 1}$ , $D = 1, 2 \times 1 0^{- 6} m^{2} s^{- 1}$ ; température moyenne de la surface $T_{s} = 10^{\circ} C$ .

1) Par un bilan d'énergie sur la tranche $[z, z + d z]$ de section $S$ , montrer que $\frac{d q}{d z} = - A$ dans la couche radiogénique et que $q$ est uniforme en dessous. En déduire que la densité de flux en surface vaut $q_{s} = q_{r} + A b$ . Pourquoi le flux n'est-il plus le même à toutes les profondeurs ?

2) Lire la relation sur des mesures. Dans six massifs granitiques d'une même province, on a mesuré la production de chaleur de la roche de surface et le flux de surface (relevé type, construit pour l'exercice à partir des ordres de grandeur mesurés) :

massif	1	2	3	4	5	6
$A$ ( $μ W m^{- 3}$ )	$1, 0$	$2, 2$	$3, 5$	$4, 8$	$6, 5$	$8, 0$
$q_{s}$ ( $mW m^{- 2}$ )	$41, 4$	$47, 8$	$60, 0$	$68, 4$	$83, 3$	$92, 2$

Le modèle rend-il compte de ces mesures ? En déduire $b$ et $q_{r}$ .

3) Le géotherme. Pour un granite de cette province produisant $A = 2, 5 μ W m^{- 3}$ , établir $T (z)$ dans la couche radiogénique, puis en dessous. Calculer $q_{s}$ , le gradient de température en surface, la température à la base de la couche et au bas de la croûte ( $z = 35 km$ ). Quelle température aurait-on prédite en prolongeant le gradient mesuré en surface ? Le régime stationnaire est-il une hypothèse raisonnable pour la croûte ?

4) La Terre entière. On estime à $20 TW$ la puissance libérée par la radioactivité dans toute la Terre (rayon $R = 6371 km$ ). On la suppose répartie uniformément ( $A_{m}$ ), la Terre étant une boule de roche en régime stationnaire. Par un bilan sur la boule de rayon $r$ , établir $j_{r} (r)$ , puis la densité de flux en surface ; comparer au flux mesuré en moyenne, $0, 087 W m^{- 2}$ ( $44 TW$ ). Quel écart de température entre le centre et la surface ce modèle exige-t-il ? En combien de temps un tel régime s'établirait-il ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Sans source, un bilan stationnaire dit seulement « ce qui entre ressort » : le flux est conservé. Avec une source, chaque tranche ajoute sa production au flux qui la traverse. Le bilan local donne la pente de $q (z)$ , la loi de Fourier la pente de $T (z)$ ; le bilan global sur une boule dit la même chose en géométrie sphérique.

1) Le flux grossit en remontant. La tranche $[z, z + d z]$ est un système fermé, solide, au repos. Pendant $d t$ , elle reçoit $j_{z} (z) S d t$ par sa face supérieure, cède $j_{z} (z + d z) S d t$ par sa face inférieure et produit $A S d z d t$ . En régime stationnaire, son énergie interne ne varie pas : $0 = [j_{z} (z) - j_{z} (z + d z)] S + A S d z ⟹ \frac{d j _{z}}{d z} = A, \frac{d q}{d z} = - A .$ Sous la couche, $A = 0$ et $q = q_{r}$ partout. Dans la couche, $q$ croît quand on remonte : $q (z) = q_{r} + A (b - z)$ , et en surface $q_{s} = q_{r} + A b .$ Chaque mètre de roche ajoute sa production $A \times 1 m$ au flux qui le traverse : le flux n'est conservé qu'en l'absence de source.

2) La relation flux-production. Le modèle prédit une droite $q_{s} (A)$ de pente $b$ et d'ordonnée à l'origine $q_{r}$ : les points sont bien alignés. La droite des moindres carrés a pour pente $7, 5 \times 1 0^{3} m$ (les unités : $mW m^{- 2}$ divisés par $μ W m^{- 3}$ donnent des kilomètres) et pour ordonnée $33 mW m^{- 2}$ : $b = 7, 5 km, q_{r} = 33 mW m^{- 2} .$ $q_{r}$ est le flux qui vient d'en dessous : celui du manteau et de la croûte profonde.

3) Le géotherme. Loi de Fourier : $j_{z} = - λ \frac{d T}{d z}$ , donc $q = λ \frac{d T}{d z}$ . Dans la couche, $λ \frac{d T}{d z} = q_{s} - A z ⟹ T (z) = T_{s} + \frac{q _{s} z}{λ} - \frac{A z ^{2}}{2 λ} :$ un profil parabolique, dont la pente diminue avec la profondeur. Ici $q_{s} = 33 + 2, 5 \times 7, 5 = 51, 8 mW m^{- 2}$ , dont $36 %$ viennent du granite, et le gradient en surface vaut $\frac{q _{s}}{λ} = 20, 7 K k m^{- 1}$ . À la base de la couche : $T (b) = 10 + \frac{0 , 05175 \times 7500 - 2 , 5 \times 1 0 ^{- 6} \times 750 0 ^{2} /2}{2 , 5} = 137^{\circ} C .$ En dessous, le profil est affine, de pente $\frac{q _{r}}{λ} = 13, 2 K k m^{- 1}$ : $T (35 km) = 137 + 13, 2 \times 27, 5 = 500^{\circ} C$ . En prolongeant le gradient de surface, on aurait trouvé $10 + 20, 7 \times 35 = 734^{\circ} C$ , soit $234 K$ de trop : on ne prolonge pas un gradient mesuré en surface quand la roche produit de la chaleur.

Le régime stationnaire s'établit dans la couche en $\frac{b ^{2}}{D} = \frac{750 0 ^{2}}{1 , 2 \times 1 0 ^{- 6}} = 4, 7 \times 1 0^{13} s$ , $1, 5$ million d'années, court devant l'âge des provinces anciennes (des centaines de millions d'années) : l'hypothèse est raisonnable.

4) La Terre entière. Volume $\frac{4}{3} π R^{3} = 1, 08 \times 1 0^{21} m^{3}$ , d'où $A_{m} = \frac{20 \times 1 0 ^{12}}{1 , 08 \times 1 0 ^{21}} = 1, 8 \times 1 0^{- 8} W m^{- 3}$ , cent fois moins que le granite : les éléments radioactifs se sont concentrés dans la croûte. Bilan stationnaire sur la boule de rayon $r$ : toute la puissance produite à l'intérieur sort par la sphère de rayon $r$ , $4 π r^{2} j_{r} (r) = A_{m} \frac{4}{3} π r^{3} ⟹ j_{r} (r) = \frac{A _{m} r}{3} .$ En surface, $j_{r} (R) = \frac{A _{m} R}{3} = 39 mW m^{- 2}$ , $45 %$ du flux mesuré : la radioactivité n'explique qu'une partie de la chaleur qui sort ; le reste vient du refroidissement de la Terre. Avec la loi de Fourier, $\frac{d T}{d r} = - \frac{A _{m} r}{3 λ}$ , d'où $T (0) - T (R) = \frac{A _{m} R ^{2}}{6 λ} = \frac{1 , 8 \times 1 0 ^{- 8} \times ( 6 , 371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 \times 2 , 5} = 5 \times 1 0^{4} K,$ dix fois la température estimée du centre de la Terre : absurde. Et ce régime mettrait $\frac{R ^{2}}{D} = 3, 4 \times 1 0^{19} s = 1, 1 \times 1 0^{12}$ ans à s'établir, plus de deux cents fois l'âge de la Terre. La conduction est bien trop lente à l'échelle de la planète : le manteau évacue sa chaleur par convection (qualitatif). Le modèle conductif stationnaire tient pour la croûte, pas pour la Terre.

Ce que l'exercice installe. Avec une source, le bilan stationnaire d'une tranche donne $\frac{d j _{z}}{d z} = A$ : le flux n'est plus conservé, il s'enrichit de la production qu'il traverse, et le profil de température devient parabolique. Le bilan global sur une boule de rayon $r$ donne directement $j_{r} = \frac{A r}{3}$ . Une loi linéaire se lit sur des mesures (pente et ordonnée ont un sens physique). Un modèle se valide par ses échelles de temps : $\frac{b ^{2}}{D}$ court, le régime stationnaire tient ; $\frac{R ^{2}}{D}$ immense, il est faux.

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