thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

La sonde géothermique d'une pompe à chaleur : pourquoi le sol ne trouve jamais son régime permanent

Diffusion thermique · D. Régime stationnaire et résistance thermique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une pompe à chaleur tire l'énergie du sous-sol par une sonde verticale : un tube en U descendu dans un forage de rayon $a = 6, 5 cm$ et de profondeur $L$ (quelques dizaines de mètres), où circule un fluide plus froid que le sol. On note $q$ la puissance prélevée par mètre de sonde. Le sous-sol est de la roche ( $λ = 2, 5 W m^{- 1} K^{- 1}$ , $D = 1, 2 \times 1 0^{- 6} m^{2} s^{- 1}$ ), à $T_{\infty} = 12^{\circ} C$ loin de la sonde. Le forage étant très long devant son rayon, on étudie un problème à symétrie cylindrique autour de son axe, puis, pour comparer, une source sphérique. Laplaciens fournis : $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r})$ (cylindre), $\frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r})$ (sphère).

1) Sphère. Une sphère de rayon $a$ , dans un milieu infini, échange un flux $Φ$ avec lui en régime stationnaire. Montrer que $T (r) = T_{\infty} + \frac{A}{r}$ , puis construire la résistance entre la sphère et l'infini. Est-elle finie ? En quel temps ce régime s'établit-il, pour $a = 0, 5 m$ ?

2) Cylindre. Montrer qu'en régime stationnaire $T (r) = A ln r + B$ . Peut-on satisfaire $T \to T_{\infty}$ à l'infini si le cylindre échange un flux non nul ? Que vaut la résistance par mètre entre $r = a$ et $r = ρ$ , et quand $ρ \to \infty$ ?

3) Ordre de grandeur. Au bout d'une durée $t$ d'extraction, seule la roche à une distance inférieure à $D t$ environ est refroidie ; on assimile cette zone à un régime stationnaire entre $r = a$ et $r = D t$ . Calculer $D t$ après une saison de chauffe ( $180$ jours) et l'écart $T_{\infty} - T (a)$ pour $q = 30 W m^{- 1}$ . La solution exacte du problème transitoire (source linéique, donnée) s'écrit, pour $t ≫ \frac{a ^{2}}{D}$ : $T_{\infty} - T (a, t) = \frac{q}{4 π λ} [ln \frac{4 D t}{a ^{2}} - γ], γ = 0, 577.$ Comparer. Pourquoi l'estimation grossière de la taille de la zone donne-t-elle un résultat si proche ?

4) Dimensionnement. Une maison demande $12 MWh$ de chaleur par saison de $180$ jours. La pompe à chaleur a un coefficient de performance de $4$ (elle fournit quatre fois le travail électrique qu'elle reçoit) : quelle énergie tire-t-elle du sol, et quelle puissance moyenne ? Entre la roche au bord du forage et le fluide, le tube et le coulis de remplissage ajoutent une résistance linéique $R_{b}^{'} = 0, 10 K m W^{- 1}$ (donnée). Le fluide doit rester au-dessus de $0^{\circ} C$ en fin de saison. Calculer la puissance admissible par mètre et la longueur de sonde, avec l'estimation de la question 3 puis avec la formule exacte.

5) Si l'on prélève $30 W m^{- 1}$ sans jamais laisser le sol se reposer, que vaut l'écart après dix ans ? Commenter.

Corrigé

La stratégie. Le laplacien fourni donne les profils stationnaires sans source ; la résistance se construit ensuite comme pour une coque, en faisant tendre le rayon extérieur vers l'infini. La sphère a une résistance finie : elle atteint un régime permanent. Le cylindre, non : sa zone d'influence grandit sans fin, et c'est la loi d'échelle $D t$ qui en fixe la taille.

1) La sphère. $Δ T = 0$ s'écrit $\frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d T}{d r}) = 0$ : $r^{2} \frac{d T}{d r} = - A$ , puis $T = T_{\infty} + \frac{A}{r}$ , en choisissant la constante pour que $T \to T_{\infty}$ . Le flux sortant à travers la sphère de rayon $r$ , $Φ = - λ 4 π r^{2} \frac{d T}{d r} = 4 π λ A$ , ne dépend pas de $r$ (bilan stationnaire sans source sur une coquille). Entre $r = a$ et l'infini : $T (a) - T_{\infty} = \frac{A}{a} = \frac{Φ}{4 π λa}, R_{sph} = \frac{1}{4 π λa} = \frac{1}{4 π \times 2 , 5 \times 0 , 5} = 0, 064 K W^{- 1} :$ une résistance finie (c'est la coquille de l'exercice sur le méthanier avec $R_{2} \to \infty$ ). Le régime s'établit dès que la zone perturbée, de taille $D t$ , dépasse nettement $a$ : en quelques $\frac{a ^{2}}{D} = \frac{0 , 25}{1 , 2 \times 1 0 ^{- 6}} = 2 \times 1 0^{5} s$ , deux à trois jours.

2) Le cylindre. $\frac{d}{d r} (r \frac{d T}{d r}) = 0$ : $r \frac{d T}{d r} = A$ , $T = A ln r + B$ . Le flux par mètre, $Φ^{'} = - λ 2 π r \frac{d T}{d r} = - 2 π λ A$ , est conservé ; s'il n'est pas nul, $A \neq = 0$ et $ln r$ n'a pas de limite à l'infini : aucun profil stationnaire ne raccorde la sonde à une roche à $T_{\infty}$ . La résistance par mètre entre $a$ et $ρ$ , construite comme pour un manchon, vaut $R^{'} = \frac{ln ( ρ / a )}{2 π λ}$ , et elle tend vers l'infini avec $ρ$ . Autour d'un cylindre infini qui échange un flux, il n'y a pas de régime permanent : l'écart de température croît sans fin, mais seulement comme un logarithme.

3) La zone d'influence. $D t = 1, 2 \times 1 0^{- 6} \times 180 \times 86400 = 4, 3 m$ . Résistance de la zone refroidie et écart : $R^{'} (t) \approx \frac{ln ( D t / a )}{2 π λ} = \frac{ln ( 4 , 32/0 , 065 )}{2 π \times 2 , 5} = 0, 267 K m W^{- 1}, Δ T \approx q R^{'} = 8, 0 K .$ Formule exacte : $\frac{30}{4 π \times 2 , 5} [ln \frac{4 \times 1 , 2 \times 1 0 ^{- 6} \times 1 , 56 \times 1 0 ^{7}}{0 , 06 5 ^{2}} - 0, 577] = 0, 955 \times (9, 78 - 0, 58) = 8, 8 K$ . L'estimation est à $9 %$ près, alors que la taille de la zone n'était connue qu'à un facteur près : le logarithme pardonne. Se tromper d'un facteur $1, 5$ sur le rayon de la zone ne change $ln (66)$ que de $ln 1, 5 = 0, 4$ sur $4, 2$ (la formule exacte correspond d'ailleurs à un rayon $1, 5 D t$ ).

En temps logarithmique, ce sont deux droites parallèles : l'écart gagne $\frac{q}{2 π λ} ln 10 = 4, 4 K$ chaque fois que la durée est multipliée par dix.

4) Dimensionnement. Énergie tirée du sol : la pompe fournit $12 MWh$ , dont un quart vient du travail électrique, donc $12 \times (1 - \frac{1}{4}) = 9 MWh = 3, 24 \times 1 0^{10} J$ , soit en moyenne $P = \frac{3 , 24 \times 1 0 ^{10}}{180 \times 86 400} = 2, 08 kW$ . La roche lointaine (à $12^{\circ} C$ ), la zone refroidie ( $R^{'}$ ) et le forage ( $R_{b}^{'}$ ) sont en série ; en fin de saison, le fluide est à $T_{\infty} - q (R^{'} + R_{b}^{'}) ⩾ 0^{\circ} C$ : $q ⩽ \frac{12}{0 , 267 + 0 , 10} = 33 W m^{- 1}, L = \frac{P}{q} = \frac{2080}{32 , 7} = 64 m .$ Avec la formule exacte ( $R^{'} = 0, 293 K m W^{- 1}$ ) : $q = 31 W m^{- 1}$ et $L = 68 m$ .

5) La dérive. Après dix ans d'extraction continue à $30 W m^{- 1}$ : $\frac{30}{4 π \times 2 , 5} [ln \frac{4 \times 1 , 2 \times 1 0 ^{- 6} \times 3 , 16 \times 1 0 ^{8}}{0 , 06 5 ^{2}} - 0, 577] = 11, 7 K$ , contre $8, 8 K$ après une saison. Le sol ne se stabilise jamais : le fluide finirait par geler. En pratique, l'été laisse la roche se recharger, et l'on peut y réinjecter de la chaleur (rafraîchissement, capteurs solaires).

Ce que l'exercice installe. Le laplacien fourni donne les profils stationnaires sans source : $\frac{A}{r} + B$ autour d'un centre, $A ln r + B$ autour d'un axe. La résistance se construit entre deux rayons ; vers l'infini, elle est finie pour une sphère, infinie pour un cylindre : autour d'une sonde, pas de régime permanent, mais un écart qui croît comme $ln t$ . La loi d'échelle $D t$ fixe la taille de la zone utile, et le logarithme rend l'estimation robuste. Des résistances en série dimensionnent l'installation.

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