Le bilan local en géométrie quelconque : l'opérateur divergence

1. Pour $r<a$ : $4\pi r^2{j}_r=p_v\frac{4}{3}\pi r^3$, $j_r=\frac{p_{v}r}{3}$. Pour $r>a$ : toute la puissance $P=p_v\frac{4}{3}\pi a^3$ traverse la sphère de rayon $r$, $j_r=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{p_v{a}^3}{3r^2}$.

2. Intérieur : $\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{p_v{r}^3}{3}\right)=p_v$ ; extérieur : $r^2{j}_r=\frac{p_v{a}^3}{3}$ est constant, $\mathrm{div}\overrightarrow{j_Q}=0$. La divergence mesure ce qui sort d'un petit volume par unité de volume : en régime stationnaire, exactement ce qui y est produit ; sans source, rien ($\mathrm{div}\overrightarrow{j_Q}=0$ est la forme locale de la conservation du flux). En $r=a$, les deux expressions valent $\frac{p_{v}a}{3}$ : le flux est continu, l'interface ne stockant rien.

3. $-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{p_{v}r}{3}$, d'où $T(r)=T(0)-\frac{p_v{r}^2}{6\lambda }$ : parabolique, et $T(0)-T(a)=\frac{p_v{a}^2}{6\lambda }$. C'est aussi $\lambda \Delta T+p_v=0$ avec le laplacien sphérique.

4. $2\pi r\ell j_r=p_v\pi r^2\ell$ : $j_r=\frac{p_{v}r}{2}$, et $\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{p_v{r}^2}{2}\right)=p_v$ ; dehors, $r{j}_r$ constant ; $T(0)-T(a)=\frac{p_v{a}^2}{4\lambda }$. Le facteur passe de $1/6$ à $1/4$ : un cylindre évacue moins bien sa chaleur qu'une boule de même rayon.