Résistance d'un modèle unidimensionnel quelconque : la panne conique d'un fer à souder

Diffusion thermique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La panne d'un fer à souder est un tronc de cône de cuivre ( $λ = 390 W / m / K$ ) de longueur $L = 20 mm$ , dont le rayon passe de $r_{a} = 1 mm$ (pointe) à $r_{b} = 4 mm$ (base, côté résistance chauffante). On néglige les pertes par la surface latérale et l'on suppose la température uniforme sur chaque section (modèle unidimensionnel).

Montrer qu'en régime stationnaire le flux $Φ$ est le même à travers toute section, et en déduire $R = \int_{0}^{L} \frac{d x}{λ S ( x )}$ .
Calculer $R$ . Comparer au résultat obtenu avec un cylindre de rayon moyen $\frac{r _{a} + r _{b}}{2}$ .
Pour souder, la panne transmet $20 W$ à la pièce : quel écart de température entre sa base et sa pointe ? Discuter le modèle unidimensionnel.

Corrigé

1. Sans source ni pertes latérales, le bilan stationnaire de la tranche $[x, x + d x]$ impose $Φ (x) = Φ (x + d x)$ : le flux est conservé. Fourier : $Φ = - λ S (x) \frac{d T}{d x}$ , d'où $d T = - \frac{Φ d x}{λ S ( x )}$ et, en intégrant, $T (0) - T (L) = Φ \int_{0}^{L} \frac{d x}{λ S ( x )}$ : c'est la résistance d'un modèle unidimensionnel quelconque (des résistances $\frac{d x}{λ S}$ en série).

2. $r (x) = r_{a} + (r_{b} - r_{a}) \frac{x}{L}$ et $d x = \frac{L d r}{r _{b} - r _{a}}$ :

$R = \frac{L}{π λ ( r _{b} - r _{a} )} \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{d r}{r ^{2}} = \frac{L}{π λ r _{a} r _{b}} = \frac{0 , 020}{π \times 390 \times 1 0 ^{- 3} \times 4 \times 1 0 ^{- 3}} = 4.08 K / W .$

Avec le rayon moyen $2.5 mm$ : $2.61 K / W$ , $36 %$ de moins. Les tranches étroites, près de la pointe, pèsent le plus : on moyenne $1/ S$ , pas $S$ .

3. $Δ T = R Φ = 4, 08 \times 20 = 82 K$ : pour une pointe à $350° C$ , la base doit être vers $430° C$ . Le modèle suppose les lignes de flux presque parallèles à l'axe : le demi-angle du cône vaut $arctan \frac{3}{20} \approx 9°$ , c'est acceptable ; il néglige les pertes latérales (convection, rayonnement), petites devant $20 W$ pour une surface de quelques centimètres carrés.