La fenêtre mésoscopique : ni trop petit, ni trop grand

La stratégie. L'échelle mésoscopique n'est pas une taille fixée par convention : c'est une fenêtre de tailles, bornée en bas par une exigence statistique (la moyenne doit être stable) et en haut par une exigence de localité (la grandeur moyennée ne doit pas varier à travers le cube). On calcule chacune des deux bornes, puis on vérifie que la fenêtre n'est pas vide.

1) Le point mathématique. Dans un volume qui tend vers zéro, il n'y a, à un instant donné, soit aucune molécule, soit une seule. Le rapport « masse contenue sur volume » vaut alors zéro, ou bien la masse d'une molécule divisée par un volume qui tend vers zéro, donc il tend vers l'infini : il saute sans cesse entre ces deux valeurs, au gré des passages des molécules. Aucune limite n'existe. La masse volumique, et de même la pression ou la température, sont des moyennes : elles n'ont de sens que sur un volume qui contient beaucoup de molécules.

2) Les nombres. Avec $N=PV/(k_{B}T)$ : $$N_{1\mathrm{L}}=\frac{1,0\times 10^5\times 1,0\times 10^{-3}}{1,38\times 10^{-23}\times 293}\approx 2,5\times 10^{22},$$ et pour un cube d'un micromètre de côté, de volume $V=(10^{-6}\mathrm{m}{)}^3=10^{-18}{\mathrm{m}}^3$, $$N_{1\mu {\mathrm{m}}^3}=\frac{1,0\times 10^5\times 10^{-18}}{1,38\times 10^{-23}\times 293}\approx 2,5\times 10^7.$$ La fluctuation relative y vaut $1/\sqrt{2,5\times 10^7}\approx 2\times 10^{-4}$ : un cube d'un micromètre, invisible au microscope optique le plus ordinaire, contient vingt-cinq millions de molécules, et la moyenne y est stable à deux dix-millièmes près.

3) La borne inférieure. La condition $1/\sqrt{N}\le 10^{-3}$ impose $N\ge 10^6$. Un cube de côté $a$ contient $N=n^{\ast }{a}^3$ molécules, donc $a\ge a_{\text{min}}=(N/n^{\ast }{)}^{1/3}$. Dans l'air : $$a_{\text{min}}={\left(\frac{10^6}{2,5\times 10^{25}}\right)}^{1/3}\approx 3,4\times 10^{-7}\mathrm{m}\approx 0,3\mu \mathrm{m}.$$ Dans l'eau liquide, $n_{\text{eau}}^{\ast }=\rho N_A/M=1000\times 6,02\times 10^{23}/0,018\approx 3,3\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $a_{\text{min}}\approx 3\times 10^{-8}\mathrm{m}=30\mathrm{nm}$. Précision de $10^{-6}$ dans l'air : $N\ge 10^{12}$, $a_{\text{min}}\approx 34\mu \mathrm{m}$ ; mille fois plus de précision demande un million de fois plus de molécules, un cube cent fois plus grand en côté.

4) La borne supérieure. À travers un cube de côté $a$, la température varie d'environ $a\times 10\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}$. Pour que cette variation reste inférieure à $10^{-3}\times 293\mathrm{K}\approx 0,29\mathrm{K}$, il faut $$a\le a_{\text{max}}=\frac{0,29\mathrm{K}}{10\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}}\approx 3\mathrm{cm}.$$

5) La fenêtre. Dans l'air, à $10^{-3}$ près, le « point » de fluide peut mesurer de $0,3\mu \mathrm{m}$ à $3\mathrm{cm}$ : cinq ordres de grandeur. C'est l'échelle mésoscopique : petite à l'échelle macroscopique (la grandeur y est uniforme), grande à l'échelle microscopique (la moyenne y est stable). Dans un liquide, la borne inférieure est dix fois plus basse ; dans un gaz très raréfié, elle grimpe comme $(n^{\ast }{)}^{-1/3}$ et peut rejoindre la taille du récipient : la fenêtre se ferme, et les grandeurs locales perdent leur sens.

Pour la masse volumique, l'exigence est seulement statistique. Mais pour parler d'une température locale, il faut que les molécules du cube s'y heurtent souvent et « se mettent d'accord » : on demande aussi $a\gg \ell \approx 0,1\mu \mathrm{m}$, ce qui reste compatible avec la fenêtre trouvée.

Ce que l'exercice installe. Une échelle se choisit entre deux contraintes, et chaque contrainte se chiffre : fluctuations en $1/\sqrt{N}$ en bas, longueur de variation macroscopique en haut. Ce raisonnement fonde toutes les grandeurs locales de l'année : une grandeur locale est une moyenne mésoscopique, et elle cesse d'exister quand la fenêtre se ferme.