La pression, flux de quantité de mouvement : de l'averse à l'air

La stratégie. La pression est une force par unité de surface ; une force est, d'après le principe fondamental de la dynamique, un taux de variation de quantité de mouvement. On choisit donc un système fermé, les particules qui heurtent la paroi pendant $\mathrm{d}t$, on calcule la variation de sa quantité de mouvement, et l'on en déduit la force que la paroi exerce sur lui, puis, par la troisième loi de Newton, la force qu'il exerce sur la paroi.

1) Le décompte. Frappent la paroi pendant $\mathrm{d}t$ les particules situées, au début, dans le cylindre de base $S$ et de hauteur $v\mathrm{d}t$ : $\mathrm{d}N=n_{p}Sv\mathrm{d}t$. Choc élastique : chacune passe de $-mv{\overrightarrow{e}}_x$ à $+mv{\overrightarrow{e}}_x$, d'où, pour le système fermé des $\mathrm{d}N$ particules,

$$\mathrm{d}\overrightarrow{p}=2mv\mathrm{d}N{\overrightarrow{e}}_x=2n_{p}m{v}^{2}S\mathrm{d}t{\overrightarrow{e}}_x.$$

Choc mou : $-mv{\overrightarrow{e}}_x$ devient $\overrightarrow{0}$, et $\mathrm{d}\overrightarrow{p}=n_{p}m{v}^{2}S\mathrm{d}t{\overrightarrow{e}}_x$, deux fois moins.

2) La force et la pression. Seule la paroi agit sur ces particules pendant le choc (pesanteur négligée). Le principe fondamental de la dynamique donne la force moyenne de la paroi sur elles, $\mathrm{d}\overrightarrow{p}/\mathrm{d}t=2n_{p}m{v}^{2}S{\overrightarrow{e}}_x$ ; d'après la troisième loi de Newton, elles exercent sur la paroi la force opposée, dans le sens du jet. En divisant par $S$ :

$$P=2n_{p}m{v}^2\text{(eˊlastique)},P=n_{p}m{v}^2\text{(mou)}.$$

Homogénéité : ${\mathrm{m}}^{-3}\cdot \mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}=\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Pourquoi la force est stable. La force réelle est une suite d'impulsions brèves. Sur $\mathcal{N}$ chocs, la fluctuation relative de la force moyenne est de l'ordre de $1/\sqrt{\mathcal{N}}$, comme toute fluctuation de comptage : pour $\mathcal{N}$ immense, la force est constante.

3) L'averse. Une hauteur de pluie de $50\mathrm{mm}$ par heure signifie que, par mètre carré, il tombe chaque heure un volume d'eau de $50\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$, soit $50\mathrm{kg}$. Le débit massique surfacique vaut

$$q=\frac{50\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}}{3600\mathrm{s}}\approx 1,39\times 10^{-2}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

Or $q=n_{p}mv$ (masse traversant l'unité de surface par unité de temps), donc pour des chocs mous :

$$P=n_{p}m{v}^2=qv\approx 1,39\times 10^{-2}\times 9\approx 0,125\mathrm{Pa}.$$

Un millionième de la pression atmosphérique : l'averse qu'on entend tambouriner pousse le toit infiniment moins que l'air immobile. Le bruit traduit la discrétisation des chocs (quelques milliers de gouttes par mètre carré et par seconde), pas la force moyenne.

4) L'air. $m=M/N_A=29\times 10^{-3}/(6,02\times 10^{23})\approx 4,8\times 10^{-26}\mathrm{kg}$, et

$$\begin{array}{rl}{n}_p& =\frac{P}{2m{v}^2}\\ & =\frac{1,0\times 10^5}{2\times 4,8\times 10^{-26}\times (500{)}^2}\approx 4,2\times 10^{24}{\mathrm{m}}^{-3}.\end{array}$$

C'est $n^{\ast }/n_p\approx 6,0$ fois moins que la densité de l'air : un sixième des molécules suffirait. Le facteur six s'interprète dans un modèle volontairement grossier : si les molécules se répartissaient en six faisceaux, selon $\pm {\overrightarrow{e}}_x$, $\pm {\overrightarrow{e}}_y$, $\pm {\overrightarrow{e}}_z$, un sixième seulement irait vers une paroi donnée, et l'on trouverait $P=\frac{1}{3}{n}^{\ast }m{v}^2$ avec la bonne valeur. Le chapitre suivant reprendra ce modèle pour interpréter la température.

5) Les chocs. Le nombre de chocs par unité de surface et par unité de temps vaut $n_{p}v$ :

$$n_{p}v\approx 4,2\times 10^{24}\times 500\approx 2,1\times 10^{27}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}=2,1\times 10^{23}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

Deux cent mille milliards de milliards de chocs par centimètre carré et par seconde. Même pendant une microseconde et sur un micromètre carré, il y en a encore $2,1\times 10^{23}\times 10^{-8}\times 10^{-6}\approx 2\times 10^9$ : la fluctuation relative de la force, en $1/\sqrt{\mathcal{N}}$, y est de deux cent-millièmes. La pression n'est pas une propriété d'une molécule : c'est une moyenne sur un nombre astronomique de chocs, d'où sa stabilité, et d'où son caractère intensif.

Ce que l'exercice installe. La pression d'un gaz est un flux de quantité de mouvement à travers la paroi. La méthode (système fermé des particules qui frappent pendant $\mathrm{d}t$, bilan de quantité de mouvement) est celle de la théorie cinétique. Et l'ordre de grandeur à retenir : $10^{23}$ chocs par centimètre carré et par seconde, ce qui fait de la pression une grandeur parfaitement définie.