Le libre parcours moyen par le cylindre balayé ; pourquoi le thermos isole

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition du libre parcours moyen (distance moyenne parcourue entre deux chocs), la relation donnée $n^{\ast }=P/(k_{B}T)$, et une idée géométrique : deux sphères dures de diamètre $d$ se touchent quand la distance de leurs centres vaut $d$. La stratégie est de construire un modèle d'ordre de grandeur : on ne cherche pas la valeur exacte de $\ell$, on cherche sa dépendance en $n^{\ast }$ et en $d$, et sa valeur à un facteur de l'ordre de un près.

1) Densité moléculaire et distance entre voisines. $$n^{\ast }=\frac{P_0}{k_{B}T}=\frac{1,0\times 10^5}{1,38\times 10^{-23}\times 293}\approx 2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ Si chaque molécule dispose en moyenne d'un cube de côté $\delta$, le volume par molécule vaut ${\delta }^3=1/n^{\ast }$, d'où $$\delta =(n^{\ast }{)}^{-1/3}\approx {\left(2,5\times 10^{25}\right)}^{-1/3}\approx 3,4\times 10^{-9}\mathrm{m}=3,4\mathrm{nm}.$$

2) Le cylindre balayé. Deux sphères de diamètre $d$ se touchent quand leurs centres sont à la distance $d/2+d/2=d$. La molécule suivie heurte donc toute molécule dont le centre est à moins de $d$ de la droite que décrit son propre centre : sur une longueur $L$, ces centres occupent un cylindre de rayon $d$, de volume $$V_{\text{balayeˊ}}=\pi d^{2}L=\sigma L,\sigma =\pi d^2,$$ où $\sigma$ est la section efficace de collision, l'aire de la « cible ». Le nombre de chocs sur la longueur $L$ est le nombre moyen de centres dans ce cylindre, $n^{\ast }\sigma L$, et la distance moyenne entre deux chocs vaut $$\ell =\frac{L}{n^{\ast }\sigma L}=\frac{1}{n^{\ast }\sigma }=\frac{1}{2,5\times 10^{25}\times 4,3\times 10^{-19}}\approx 9,4\times 10^{-8}\mathrm{m}\approx 0,1\mu \mathrm{m},$$ avec $\sigma =\pi (3,7\times 10^{-10}{)}^2\approx 4,3\times 10^{-19}{\mathrm{m}}^2$.

Homogénéité. $n^{\ast }$ est en ${\mathrm{m}}^{-3}$, $\sigma$ en ${\mathrm{m}}^2$ : leur produit est en ${\mathrm{m}}^{-1}$ et son inverse est bien une longueur.

Le point délicat : les cibles bougent aussi. C'est alors la vitesse relative qui compte ; un calcul plus fin (non exigible) introduit un facteur $\sqrt{2}$ : $\ell =1/(\sqrt{2}{n}^{\ast }\sigma )\approx 0,07\mu \mathrm{m}$. L'ordre de grandeur et la loi $\ell \propto 1/(n^{\ast }{d}^2)$ sont inchangés : c'est tout ce qu'un modèle d'ordre de grandeur doit fournir.

3) La hiérarchie des longueurs. $$d\approx 4\times 10^{-10}\mathrm{m}<\delta \approx 3\times 10^{-9}\mathrm{m}<\ell \approx 10^{-7}\mathrm{m}.$$ On a $\delta /d\approx 9$ et $\ell /\delta \approx 27$. L'air est dilué en deux sens : les molécules occupent une fraction $\frac{\pi }{6}{d}^3{n}^{\ast }\approx 7\times 10^{-4}$ du volume, et une molécule passe à côté de dizaines de voisines avant d'en heurter une : elle vit en vol libre, les chocs sont brefs et rares. C'est ce qui fondera le modèle du gaz parfait.

4) Influence de la pression, et le thermos. À température fixée, $n^{\ast }$ est proportionnelle à $P$, donc $\ell =\frac{k_{B}T}{\sigma P}\propto \frac{1}{P}$ : moins de cibles, moins de chocs. La condition $\ell >e$ s'écrit, avec ${\ell }_0$ la valeur sous $P_0$, $$P<P_0\frac{{\ell }_0}{e}=1,0\times 10^5\times \frac{9,4\times 10^{-8}}{5\times 10^{-3}}\approx 2\mathrm{Pa},$$ un vide de l'ordre du pascal. Sous $10^{-8}\mathrm{Pa}$, $\ell =9,4\times 10^{-8}\times 10^5/10^{-8}\approx 9\times 10^5\mathrm{m}$, de l'ordre de mille kilomètres. Cas limite : quand $\ell$ dépasse la taille du récipient, les seuls chocs qui comptent sont ceux sur les parois.

5) Pourquoi le vide isole, et pourquoi il faut un « bon » vide. Dans un gaz, l'énergie d'agitation se transmet par les chocs : une molécule venue d'une zone chaude cède une partie de son énergie, au choc suivant, à une molécule d'une zone plus froide. Chaque molécule transporte ainsi de l'énergie sur une distance de l'ordre de $\ell$.

Tant que $\ell \ll e$. Diviser la pression par deux divise par deux le nombre de porteurs, mais double la distance $\ell$ sur laquelle chacun porte l'énergie : les deux effets se compensent. C'est pourquoi un « vide » médiocre n'isole pas mieux que l'air.

Quand $\ell >e$. La distance de transport est bornée par $e$ (la molécule va d'une paroi à l'autre) ; il ne reste que la diminution du nombre de porteurs, proportionnel à $P$ : le transport par le gaz s'effondre. La convection, mouvement d'ensemble du fluide, disparaît aussi. Subsiste le seul mode sans support matériel : le rayonnement (infrarouge à ces températures), qu'on limite en argentant les faces en regard, qui le réfléchissent.

Ce que l'exercice installe. Un modèle d'ordre de grandeur se construit : un cylindre balayé donne $\ell =1/(n^{\ast }\sigma )$, d'où $\ell \propto T/P$. La hiérarchie $d<\delta \ll \ell$ est la signature d'un gaz dilué, et le rapport $\ell /e$ entre une longueur microscopique et une longueur du dispositif décide du régime physique. On retrouvera ce réflexe : comparer une longueur microscopique à la taille du système avant d'appliquer un modèle.