L'air sec des maisons en hiver

Le système et la transformation. Le système est une masse d'air donnée, avec la vapeur qu'elle contient : fermé, puisqu'on ne lui ajoute pas d'eau. La maison communique avec l'extérieur : l'atmosphère impose la pression totale $P$, la même dedans et dehors. Le chauffage est donc isobare, et le volume de cette masse d'air augmente.

1) Une pression partielle conservée. Pour un mélange idéal de gaz parfaits, $p_v=\frac{n_{v}RT}{V}$ et $P=\frac{nRT}{V}$, d'où $p_v=y_{v}P$ avec $y_v=n_v/n$. Sans apport ni retrait de matière, $y_v$ ne change pas ; la pression totale non plus. Donc $p_v$ est conservée :

$$p_v=0,90\times P_s(0{}^{\circ }\mathrm{C})=0,90\times 0,611\approx 0,550\mathrm{kPa}.$$

(Le volume augmente dans le rapport $293,15/273,15\approx 1,07$, ce qui compense exactement la hausse de $T$ dans $n_{v}RT/V$.)

2) L'humidité relative intérieure.

$$\mathrm{HR}=\frac{p_v}{P_s(20{}^{\circ }\mathrm{C})}=\frac{0,550}{2,339}\approx 0,235,$$

soit environ $23\%$ : un air très sec, qui irrite la gorge et les yeux, alors qu'il était presque saturé dehors.

3) La même eau. La masse de vapeur par unité de volume vaut $\frac{p_{v}M}{RT}$ :

$$\text{dehors : }\frac{550\times 18,0\times 10^{-3}}{8,314\times 273,15}\approx 4,4\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3},\text{dedans : }\frac{550\times 18,0\times 10^{-3}}{8,314\times 293,15}\approx 4,1\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}.$$

Il n'y a pas d'eau en moins : la même vapeur, simplement diluée par la dilatation de $7\%$ de l'air. Ce qui a changé, c'est le dénominateur de l'humidité relative : $P_s$ a presque quadruplé (facteur $2,339/0,611\approx 3,8$) entre $0$ et $20{}^{\circ }\mathrm{C}$. « Humide » et « sec » qualifient l'écart à la saturation, pas la quantité d'eau.

Le point délicat. L'humidité relative n'est pas une propriété de la vapeur seule : elle dépend de la température par $P_s(T)$. Chauffer un air sans lui ajouter d'eau le sèche ; le refroidir l'humidifie, jusqu'à la rosée.

4) L'humidificateur. Il faut porter $p_v$ à $0,50\times 2,339\approx 1,170\mathrm{kPa}$, soit $\Delta p_v\approx 0,620\mathrm{kPa}$ à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ :

$$\begin{array}{rl}\Delta m& =\frac{\Delta p_{v}M}{RT}\\ & =\frac{620\times 18,0\times 10^{-3}}{8,314\times 293,15}\approx 4,6\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}.\end{array}$$

Pour une chambre de $50{\mathrm{m}}^3$, environ $230\mathrm{g}$ d'eau à chaque renouvellement de l'air : c'est l'ordre de grandeur du réservoir d'un humidificateur, vidé en une journée.

Ce que l'exercice installe. À composition et pression totale fixées, la pression partielle de la vapeur est conservée, $p_v=y_{v}P$. L'humidité relative varie alors seulement par $P_s(T)$, qui croît très vite avec $T$ : l'air chauffé devient sec, l'air refroidi s'approche de la saturation. Les masses d'eau en jeu se comptent en grammes par mètre cube.