Le titre est une fraction massique

La stratégie. Tout découle d'une propriété : volume et masse sont extensifs. On écrit les deux sommes et l'on divise ; la règle des moments n'est que la traduction géométrique de cette addition.

1) La règle des moments. Chaque phase occupe le volume de sa masse au volume massique saturant : $V=m_L{v}_L+m_V{v}_V$. En divisant par $m=m_L+m_V$ :

$$v=\frac{m_L{v}_L+m_V{v}_V}{m_L+m_V}=(1-x_V)v_L+x_V{v}_V.$$

L'abscisse de $M$ est la moyenne de celles de $L$ et $V$ pondérées par les masses : $M$ est le barycentre de $(L,m_L)$ et $(V,m_V)$. D'où $v-v_L=x_V(v_V-v_L)$, soit $x_V=\frac{v-v_L}{v_V-v_L}=\frac{\overline{LM}}{\overline{LV}}$, et de même $1-x_V=\overline{MV}/\overline{LV}$. Ainsi $m_L\cdot \overline{LM}=m_V\cdot \overline{MV}$ : c'est l'équilibre d'un levier appuyé en $M$, chargé de $m_L$ en $L$ et de $m_V$ en $V$ — l'égalité des moments, d'où le nom.

2) La fraction volumique. $V_V=x_{V}m{v}_V$ et $V=mv$, donc

$${\phi }_V=\frac{x_V{v}_V}{(1-x_V)v_L+x_V{v}_V}.$$

Pour $x_V=0,2$ : ${\phi }_V=\frac{0,3344}{0,8\times 1,043\times 10^{-3}+0,3344}\approx 0,998$ ; pour $x_V=0,9$ : ${\phi }_V\approx 0,99993$. Un mélange à $80\%$ de liquide en masse est à $99,8\%$ de vapeur en volume : on voit un récipient plein de vapeur avec un peu d'eau au fond.

3) Volumes égaux. $V_V=V_L$ s'écrit $x_V{v}_V=(1-x_V)v_L$, d'où

$$x_V=\frac{v_L}{v_L+v_V}\approx 6,2\times 10^{-4}.$$

Six dix-millièmes de la masse vaporisés suffisent pour que la vapeur occupe la moitié du volume : c'est $v_V/v_L\approx 1600$ vu autrement. (Près du point critique, ce rapport diminue et l'écart entre fractions massique et volumique s'atténue.)

4) Le piège de l'échelle logarithmique. Le milieu du segment sur une échelle logarithmique correspond à la moyenne des logarithmes : $v=\sqrt{v_L{v}_V}\approx 0,0418{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, et

$$x_V=\frac{0,0418-0,001043}{1,672-0,001043}\approx 0,024.$$

Le point « au milieu » ne contient que $2,4\%$ de vapeur ; les longueurs lues donneraient $0,5$, vingt fois trop. La règle des moments repose sur le fait que $v$ est affine en $x_V$ : elle ne vaut que sur une échelle linéaire en $v$. Sur un diagramme logarithmique, on lit $v$, puis on calcule $x_V$.

Le point délicat. Les deux pièges ont la même origine : confondre ce que l'on voit (des volumes, des longueurs) avec ce que mesure le titre (une masse).

Ce que l'exercice installe. La règle des moments est l'extensivité du volume écrite comme un barycentre, à redémontrer en deux lignes. Le titre est une fraction massique, très différente de la fraction volumique tant que $v_V\gg v_L$. Et la règle ne s'applique qu'à une abscisse linéaire en $v$.