Découper en $N$ étapes : le quasi statique comme limite

La stratégie. Le programme demande d'« évaluer un travail par découpage en travaux élémentaires et sommation sur un chemin donné ». On découpe donc la transformation en $N$ étapes dont chacune est un cas connu (monobare), on somme, et l'on fait tendre $N$ vers l'infini.

1) Une étape. Le système est le gaz. Pendant l'étape $j$, la pression extérieure vaut $P_j$, constante : l'étape est monobare, et monotherme (thermostat). Elle part de l'état d'équilibre $(P_{j-1},V_{j-1},T_0)$ et aboutit à l'état d'équilibre $(P_j,V_j,T_0)$, avec $V_j=nR{T}_0/P_j$. Donc

$$\begin{array}{rl}{W}_j& =-P_j(V_j-V_{j-1})\\ & =-P_j\left(\frac{nR{T}_0}{P_j}-\frac{nR{T}_0}{P_{j-1}}\right)\\ & =nR{T}_0\frac{P_j-P_{j-1}}{P_{j-1}}.\end{array}$$

Le travail total est la somme des travaux reçus sur les étapes successives, d'où la formule annoncée. Vérification : pour $N=1$, on retrouve $W_1=nR{T}_0(k-1)$, la compression brutale.

2) L'escalier. Dans le diagramme $(P,V)$, les états d'équilibre intermédiaires $(V_j,P_j)$ sont sur l'hyperbole isotherme. Chaque étape a pour travail l'aire d'un rectangle de hauteur $P_j$ (la nouvelle pression extérieure) et de base $V_{j-1}-V_j$. Pour $N=4$ et $k=2$, les pressions extérieures sont $1,25$, $1,5$, $1,75$ et $2P_0$ ; les rectangles forment un escalier dont chaque marche touche l'hyperbole par son coin supérieur gauche et la déborde ailleurs. $W_N$ est l'aire sous l'escalier.

3) La limite. Posons $p=P/P_0$, $p_j=1+jh$ avec $h=(k-1)/N$. Alors

$$W_N=nR{T}_0\sum _{j=1}^N\frac{h}{p_{j-1}},$$

qui est la somme de Riemann « à gauche » de la fonction continue $p\mapsto 1/p$ sur $[1,k]$, de pas $h$. Quand $N\to +\infty$, elle tend vers l'intégrale :

$$W_N⟶nR{T}_0{\int }_1^k\frac{\mathrm{d}p}{p}=nR{T}_0\ln k=W_{\mathrm{qs}}.$$

4) L'encadrement. La fonction $p\mapsto 1/p$ est décroissante ; sur chaque intervalle $[p_{j-1},p_j]$, elle est majorée par sa valeur au bord gauche, $1/p_{j-1}$. Donc

$$\frac{h}{p_{j-1}}\ge {\int }_{p_{j-1}}^{p_j}\frac{\mathrm{d}p}{p},$$

et en sommant, $W_N\ge W_{\mathrm{qs}}$ pour tout $N$. C'est l'escalier qui déborde l'hyperbole : à chaque marche, l'opérateur comprime sous une pression extérieure supérieure à celle du gaz.

5) Le calcul. Un script court :

import math
nRT, k = 100.0, 2.0              # nRT0 (J), rapport des pressions
W_qs = nRT * math.log(k)
def W(N):
    P = [1 + j * (k - 1) / N for j in range(N + 1)]   # P_j / P_0
    return nRT * sum((P[j] - P[j-1]) / P[j-1] for j in range(1, N + 1))
for N in (1, 2, 5, 10, 100):
    print(N, round(W(N), 2), f"{100 * (W(N) - W_qs) / W_qs:.1f} %")
N = 1
while W(N) - W_qs >= 0.01 * W_qs:
    N += 1
print("N sous 1 % :", N, round(N * (W(N) - W_qs), 2))
print("limite :", nRT * (k - 1)**2 / (2 * k))

Résultat de l'exécution :

Il faut 37 marches pour passer sous 1 % d'écart. Et $N(W_N-W_{\mathrm{qs}})$ vaut $25,17\mathrm{J}$ pour $N=37$, puis tend vers $25\mathrm{J}=nR{T}_0(k-1{)}^2/(2k)$ : l'excès de travail décroît comme $1/N$. Chaque marche ajoute en effet au-dessus de l'hyperbole un petit triangle, et la somme de ces triangles est en $1/N$.

6) Conclusion. Une transformation quasi statique n'est pas réalisable exactement ; c'est la limite d'une suite de transformations réelles, dont chaque étape est brutale mais de plus en plus petite. À la limite, le système passe par une suite continue d'états d'équilibre, la pression extérieure suit celle du gaz, et le travail devient l'intégrale $-\int P\mathrm{d}V$. Dire « quasi statique », c'est dire que l'excès de travail, en $1/N$, est devenu négligeable.

Ce que l'exercice installe. Le travail se calcule en sommant des travaux élémentaires sur un chemin découpé ; la formule $W=-\int P\mathrm{d}V$ n'est pas une définition mais la limite d'une somme de travaux monobares. Et l'idéalisation « quasi statique » a un coût mesurable : l'écart à l'idéal décroît comme l'inverse du nombre d'étapes.