Le travail du palier

La stratégie. Le système est l'eau (liquide et vapeur), système fermé. Le chauffage est lent et le piston sans frottement : la transformation est quasi statique, la pression de l'eau égale à chaque instant $P_{\mathrm{ext}}$. Le chapitre sur le corps pur diphasé dit alors où se trouve le point représentatif.

1) Le palier. Tant que liquide et vapeur coexistent, la pression et la température sont liées par $P=P_s(T)$. La pression étant imposée à $1,014\mathrm{bar}$, la température reste à $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ : la transformation est isobare et isotherme. Dans le diagramme de Clapeyron (en volume massique), le point représentatif parcourt le palier horizontal de $L$ (liquide saturant, $v_L$) à $V$ (vapeur saturante, $v_V$), le titre en vapeur passant de $0$ à $1$. Pour un gaz parfait, c'est impossible : $PV=nRT$ à $P$ et $T$ fixés impose $V$ fixé. Le corps diphasé, lui, change de volume à $P$ et $T$ constants en changeant sa composition.

2) Le travail. Pression extérieure constante, transformation monobare :

$$\begin{array}{rl}W& =-P_{\mathrm{ext}}m(v_V-v_L)\\ & =-1,014\times 10^5\times 1,00\times (1,672-0,001043)\\ & =-1,694\times 10^5\mathrm{J}.\end{array}$$

L'eau fournit environ $169\mathrm{kJ}$ : en passant de $1\mathrm{L}$ à $1,67{\mathrm{m}}^3$, elle repousse l'atmosphère de plus d'un mètre cube et demi.

3) L'approximation. En négligeant $v_L$ ($0,06\%$ de $v_V$) et en écrivant pour la vapeur $P_s{v}_V\approx RT/M$, on obtient

$$\begin{array}{rl}W\approx -\frac{mRT}{M}& =-\frac{1,00\times 8,314\times 373,15}{18,0\times 10^{-3}}\\ & =-1,724\times 10^5\mathrm{J}.\end{array}$$

L'erreur est de $1,7\%$. Elle vient presque entièrement de la vapeur : $P_s{v}_V=1,695\times 10^5\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ contre $RT/M=1,724\times 10^5\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ ; la vapeur saturante est un peu moins volumineuse que le gaz parfait (facteur de compressibilité $0,98$). La part de $v_L$ ne vaut que $0,06\%$.

4) Travail et énergie de vaporisation. Le travail ne dépend que de la pression extérieure et de la variation de volume : c'est l'énergie que l'eau cède à l'atmosphère en la repoussant. Il dit combien l'eau donne au piston, pas combien la source de chauffage lui a fourni. Pour vaporiser, il faut que la plaque chauffante fournisse à l'eau un transfert thermique, qui doit à la fois compenser le travail cédé à l'atmosphère et séparer les molécules du liquide ; ce transfert thermique n'est pas calculable avec les outils de ce chapitre. Le premier principe en fera le bilan. L'élève confond un échange particulier avec le bilan total.

5) Chauffage de la vapeur sèche. La vapeur, désormais seule, est chauffée sous $P_{\mathrm{ext}}$ constante, l'équilibre mécanique étant réalisé au début et à la fin : $W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)$. Avec l'équation d'état du gaz parfait, $P_{\mathrm{ext}}V=mRT/M$ aux deux extrémités, donc

$$\begin{array}{rl}W& =-\frac{mR}{M}(T_f-T_i)\\ & =-\frac{1,00\times 8,314\times 100}{18,0\times 10^{-3}}\\ & =-4,62\times 10^4\mathrm{J}.\end{array}$$

Le travail ne dépend que de l'écart de température : $46\mathrm{kJ}$ par tranche de cent kelvins et par kilogramme.

Ce que l'exercice installe. Sur un palier de changement d'état, isotherme et isobare coïncident, et le travail est celui d'une monobare : $-P_s\Delta V$. L'ordre de grandeur est à retenir : vaporiser un kilogramme d'eau sous un bar fournit environ $170\mathrm{kJ}$ de travail à l'atmosphère. Et un travail est un échange parmi d'autres : il ne mesure jamais à lui seul l'énergie mise en jeu.