La bouilloire et ses pertes

1) Le bilan entre deux instants voisins. Système : l'eau de la bouilloire, système fermé (on se place avant l'ébullition : aucune vapeur ne s'échappe). Transformation élémentaire : de l'état à l'instant $t$, température $\theta$, à l'état à l'instant $t+\mathrm{d}t$, température $\theta +\mathrm{d}\theta$. Contraintes : le couvercle n'est pas étanche, l'eau est sous la pression atmosphérique, constante, et en équilibre mécanique avec elle à chaque instant. On peut donc appliquer $\mathrm{d}H=\delta Q$ entre deux instants voisins : les conditions du bilan d'enthalpie monobare (équilibre mécanique au début et à la fin de l'intervalle) sont satisfaites, et l'on n'a pas à calculer le petit travail de dilatation, que $H$ absorbe.

Les transferts thermiques reçus par l'eau pendant $\mathrm{d}t$ sont : celui de la résistance, $\mathcal{P}\mathrm{d}t$ (la résistance, de capacité négligeable, transmet à l'eau toute l'énergie électrique qu'elle reçoit) ; et celui des pertes, $-G(\theta -{\theta }_a)\mathrm{d}t$, compté négativement parce qu'il est cédé. La variation d'enthalpie de l'eau, phase condensée, est $\mathrm{d}H=mc\mathrm{d}\theta$. D'où $$mc\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\mathcal{P}-G(\theta -{\theta }_a),\text{soit}\tau \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+\theta ={\theta }_a+\frac{\mathcal{P}}{G},\tau =\frac{mc}{G}.$$ Homogénéité : $mc$ en $\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$, $G$ en $\mathrm{W}{\mathrm{K}}^{-1}$, leur rapport en secondes. Valeur : $\tau =1,5\times 4180/4,0=1,57\times 10^3\mathrm{s}=26\min$.

Remarque. Avec la résistance dans le système, $\mathcal{P}\mathrm{d}t$ serait un travail électrique, et $\mathrm{d}H=\delta W_{\mathrm{e}}+\delta Q$ : même équation ; le nom de l'échange dépend de la frontière.

2) Le temps de chauffe. Avec $\theta (0)={\theta }_a$, la solution est $$\theta (t)={\theta }_a+\frac{\mathcal{P}}{G}\left(1-e^{-t/\tau }\right).$$ On atteint $100{}^{\circ }\mathrm{C}$, soit un écart $\Delta \theta =85\mathrm{K}$, à l'instant $$t_1=-\tau \ln \left(1-\frac{G\Delta \theta }{\mathcal{P}}\right)=-1568\times \ln (1-0,17)=292\mathrm{s}.$$ Sans pertes, toute la puissance chauffe l'eau : $t_0=mc\Delta \theta /\mathcal{P}=1,5\times 4180\times 85/2000=266\mathrm{s}$. Les pertes coûtent $26\mathrm{s}$, soit $10\%$.

Cas limite. Quand $G\to 0$, $\ln (1-G\Delta \theta /\mathcal{P})\sim -G\Delta \theta /\mathcal{P}$, et $t_1\sim \tau G\Delta \theta /\mathcal{P}=mc\Delta \theta /\mathcal{P}=t_0$ : on retrouve le temps sans pertes. Le paramètre qui mesure l'importance des pertes est le rapport $G\Delta \theta /\mathcal{P}=0,17$ : la puissance perdue à $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ rapportée à la puissance de chauffe.

Vérification numérique. Une intégration par la méthode d'Euler confirme la formule :

import math
m, c, G, Pe, ta = 1.5, 4180.0, 4.0, 2000.0, 15.0  # SI, deg C
tau = m * c / G                    # constante de temps (s)
dt, t, th = 0.1, 0.0, ta
while th < 100.0:            # Euler : m c dth/dt = Pe - G (th - ta)
    th += (Pe - G * (th - ta)) * dt / (m * c)
    t += dt
t1 = -tau * math.log(1 - G * 85.0 / Pe)
print("tau", round(tau), "; Euler", round(t), "; formule", round(t1))
print("sans pertes", round(m * c * 85.0 / Pe), "; seuil", G * 85.0)

Le script affiche tau 1568 ; Euler 292 ; formule 292 puis sans pertes 266 ; seuil 340.0 (secondes, puis watts pour le seuil).

3) La puissance seuil. La température tend vers la valeur limite ${\theta }_{\infty }={\theta }_a+\mathcal{P}/G$, où la puissance de chauffe compense exactement les pertes. L'eau ne bout jamais si ${\theta }_{\infty }<100{}^{\circ }\mathrm{C}$, c'est-à-dire si $$\mathcal{P}<G(100-{\theta }_a)=4,0\times 85=340\mathrm{W}.$$ C'est pourquoi on couvre une casserole qui peine à bouillir : on diminue $G$.

4) L'ébullition à sec. Pendant l'ébullition, l'eau reste à $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ sous la pression atmosphérique : la puissance nette reçue, $\mathcal{P}-G\times 85=1660\mathrm{W}$, sert entièrement à vaporiser. Système pour ce bilan : toute l'eau présente au début de l'ébullition, liquide et vapeur formée comprise (on suit la matière, comme pour la bouteille). La vaporisation de la masse $m$ demande $\Delta H=m{L}_{\mathrm{vap}}$, d'où la durée $$t_2=\frac{m{L}_{\mathrm{vap}}}{\mathcal{P}-G\Delta \theta }=\frac{1,5\times 2,26\times 10^6}{1660}=2,0\times 10^3\mathrm{s}\approx 34\min .$$ C'est sept fois le temps de chauffe : $L_{\mathrm{vap}}=2260\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ contre $c\Delta \theta =355\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Une bouilloire coupe à l'ébullition parce que continuer ne sert à rien (l'eau ne chauffe plus) et coûterait l'essentiel de l'énergie ; et parce que, une fois l'eau partie, la résistance n'est plus refroidie et sa température monte sans limite.

Ce que l'exercice installe. Le premier principe entre deux instants voisins : un bilan d'enthalpie sur $\mathrm{d}t$ donne une équation différentielle, et la physique se lit sur sa constante de temps et sur son régime permanent. Ensuite le choix de $H$ justifié par l'équilibre mécanique avec l'atmosphère, et la remarque qu'un même échange s'appelle travail ou chaleur selon la frontière. Enfin un ordre de grandeur à retenir : vaporiser l'eau coûte plus de cinq fois ce que coûte la porter de $0$ à $100{}^{\circ }\mathrm{C}$.