L'écart à Carnot mesure l'entropie créée

La stratégie. On ne part pas de l'inégalité de Clausius : on écrit les deux bilans en égalités, avec $S_{\text{creˊeˊ}}$ comme terme à part entière, et l'on élimine $Q_f$. Le système est, comme toujours, le fluide qui décrit le cycle (fermé) ; la transformation est un cycle, donc $\Delta U=0$ et $\Delta S=0$.

1) La formule. Les deux bilans sont $$W+Q_c+Q_f=0,\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}+S_{\text{creˊeˊ}}=0.$$ Le second donne $Q_f=-\frac{T_f}{T_c}{Q}_c-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$. Dans le premier : $$-W=Q_c+Q_f=Q_c\left(1-\frac{T_f}{T_c}\right)-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}.$$ On divise par $Q_c>0$ : $$\boxed{\eta =\frac{-W}{Q_c}={\eta }_C-\frac{T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}}{Q_c}}.$$ Comme $S_{\text{creˊeˊ}}\ge 0$, $T_f>0$ et $Q_c>0$, le terme retranché est positif : $\eta \le {\eta }_C$, c'est le théorème de Carnot ; l'égalité a lieu si et seulement si $S_{\text{creˊeˊ}}=0$, c'est-à-dire pour un moteur réversible.

Le travail perdu. À chaleur reçue $Q_c$ fixée, un moteur réversible fournirait ${\eta }_C{Q}_c$ ; le moteur réel fournit ${\eta }_C{Q}_c-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$. La différence, $T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$, est le travail perdu : c'est exactement le supplément de chaleur rejeté à la source froide pour évacuer l'entropie créée. Homogénéité : des kelvins fois des joules par kelvin, ce sont des joules.

2) Le moteur réel. ${\eta }_C=1-300/600=0,50$. De la formule, $$S_{\text{creˊeˊ}}=\frac{({\eta }_C-\eta )Q_c}{T_f}=\frac{0,20\times 1000}{300}\approx 0,667\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1},T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}=200\mathrm{J}.$$ On retrouve les $200\mathrm{J}$ lus graphiquement sur le diagramme de Raveau : l'écart vertical entre le moteur réel et le moteur de Carnot est $T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$.

3) L'inventeur. Ici ${\eta }_C=1-300/500=0,40$, et $$S_{\text{creˊeˊ}}=\frac{({\eta }_C-\eta )Q_c}{T_f}=\frac{(0,40-0,70)\times 1000}{300}=-1,00\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}<0.$$ Une entropie créée négative : le moteur est impossible. Un $S_{\text{creˊeˊ}}$ négatif ne signale pas un moteur exceptionnel : il signale une erreur.

4) Le réfrigérateur. Mêmes bilans, mais on élimine cette fois $Q_c$, puisque c'est $Q_f$ qui est fixé par l'usage. Le premier principe donne $Q_c=-W-Q_f$ ; on le reporte dans le bilan d'entropie : $$\frac{-W-Q_f}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}+S_{\text{creˊeˊ}}=0⟹W=Q_f\left(\frac{T_c}{T_f}-1\right)+T_c{S}_{\text{creˊeˊ}}.$$ Le premier terme est le travail minimal $W_{\text{min}}=Q_f(T_c-T_f)/T_f$, celui d'un réfrigérateur réversible ; il redonne l'efficacité de Carnot $e_C=Q_f/W_{\text{min}}=T_f/(T_c-T_f)$. Le second est le travail perdu.

Application. $$e=\frac{Q_f}{W}=\frac{500}{200}=2,5,e_C=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,71,$$ $$W_{\text{min}}=\frac{500\times 38}{255}\approx 74,5\mathrm{J},S_{\text{creˊeˊ}}=\frac{W-W_{\text{min}}}{T_c}=\frac{200-74,5}{293}\approx 0,428\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1},$$ et le travail perdu vaut $T_c{S}_{\text{creˊeˊ}}\approx 125\mathrm{J}$. Près des deux tiers du travail consommé sont perdus par irréversibilité.

Pourquoi $T_c$ ici et $T_f$ pour le moteur. L'entropie créée doit quitter le fluide à chaque cycle, et elle ne peut partir qu'avec de la chaleur cédée à une source. Pour le moteur, la grandeur imposée est $Q_c$ : l'entropie créée part vers la source froide et coûte $T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$ de chaleur rejetée en plus. Pour le réfrigérateur, la grandeur imposée est $Q_f$ : l'entropie créée part vers la source chaude, et chaque joule par kelvin coûte $T_c$ joules de travail supplémentaire. Le facteur est la température de la source qui reçoit l'entropie créée.

5) Les causes physiques. Les transferts thermiques sous un écart fini de température entre le fluide et les sources ; les frottements ; les détentes brutales et les écoulements rapides, qui ne sont pas quasi statiques (détendeur d'un réfrigérateur).

Ce que l'exercice installe. Le théorème de Carnot n'est pas une borne qu'on constate, c'est une égalité chiffrée : $\eta ={\eta }_C-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}/Q_c$. Tout rendement annoncé se vérifie par le signe de $S_{\text{creˊeˊ}}$.