thermodynamique (MP) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Carrelage ou parquet : pourquoi le sol « froid » n'est pas plus froid

Diffusion thermique · C. Loi de Fourier et équation de la chaleur · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pieds nus dans une maison à $19^{\circ} C$ , on trouve le carrelage froid et le parquet tiède, alors que les deux sont à $19^{\circ} C$ . La peau, à $T_{1} = 33^{\circ} C$ , est posée à l'instant $t = 0$ sur un sol à $T_{2} = 19^{\circ} C$ ; on note $T_{c}$ la température de contact. Hypothèses (données) :

le contact est parfait : la peau et le sol ont la même température $T_{c}$ à l'interface ;
le transfert est unidimensionnel, selon $x$ , de la peau ( $x < 0$ ) vers le sol ( $x > 0$ ) ;
à l'instant $t$ , chaque milieu $i$ n'est affecté que sur une épaisseur $ℓ_{i} = k D_{i} t$ , avec le même facteur $k$ des deux côtés (profils de même forme), et le gradient à l'interface vaut, en ordre de grandeur, l'écart de température divisé par cette épaisseur.

On appelle effusivité d'un matériau la grandeur $E = \frac{λ}{D} = λ ρ c$ .

1) Montrer, par un bilan sur une tranche d'épaisseur infiniment petite contenant l'interface, que la densité de flux est continue à l'interface.

2) En déduire que $T_{c} = \frac{E _{1} T _{1} + E _{2} T _{2}}{E _{1} + E _{2}}$ . Dépend-elle du temps ? (Cette formule est exacte pour deux milieux semi-infinis initialement à température uniforme : on l'admet.)

3) Calculer $E$ et $T_{c}$ pour la peau ( $λ = 0, 37$ , $ρ = 1050$ , $c = 3700$ ) posée sur du chêne ( $0, 17$ ; $700$ ; $1600$ ), du pin ( $0, 13$ ; $500$ ; $1600$ ), du carrelage ( $1, 3$ ; $2300$ ; $840$ ), du béton ( $1, 75$ ; $2300$ ; $1000$ ), de l'acier ( $50$ ; $7800$ ; $460$ ) et du polystyrène expansé ( $0, 035$ ; $25$ ; $1300$ ), unités du SI. Expliquer la sensation.

4) Cas limites. Que vaut $T_{c}$ si $E_{2} ≫ E_{1}$ ? si $E_{2} ≪ E_{1}$ ? Dans un sauna à $90^{\circ} C$ , la peau est à $37^{\circ} C$ : quelle température touche-t-on en s'asseyant sur le banc de pin ? sur la tête d'un clou d'acier ?

5) Validité. Sur quelle épaisseur la peau est-elle affectée après une seconde de contact ? le carrelage ? Jusqu'à quelle durée un carreau de $1 cm$ se comporte-t-il comme un milieu semi-infini ?

Corrigé

La stratégie. Ce que l'on ressent, c'est la température de sa peau, pas celle du sol. Elle se fixe par l'égalité des flux de part et d'autre de l'interface ; chaque flux s'estime par la loi d'échelle $ℓ \sim D t$ , appliquée de chaque côté.

1) Continuité du flux. Une tranche $[- ε, ε]$ de section $S$ contenant l'interface a pour énergie interne au plus $ρ c S 2 ε T$ : son bilan s'écrit $[j_{x} (- ε) - j_{x} (ε)] S = \frac{d U}{d t}$ , et le second membre tend vers zéro avec $ε$ . Une interface sans épaisseur ne stocke rien : $j_{x} (0^{-}) = j_{x} (0^{+})$ .

2) La température de contact. Côté peau, la température passe de $T_{1}$ à $T_{c}$ sur $ℓ_{1}$ : $j_{x} (0^{-}) \approx λ_{1} \frac{T _{1} - T _{c}}{ℓ _{1}}$ ; côté sol, de $T_{c}$ à $T_{2}$ sur $ℓ_{2}$ : $j_{x} (0^{+}) \approx λ_{2} \frac{T _{c} - T _{2}}{ℓ _{2}}$ . Avec $ℓ_{i} = k D_{i} t$ , l'égalité des flux s'écrit $\frac{λ _{1}}{D _{1}} (T_{1} - T_{c}) = \frac{λ _{2}}{D _{2}} (T_{c} - T_{2}) ⟹ T_{c} = \frac{E _{1} T _{1} + E _{2} T _{2}}{E _{1} + E _{2}},$ $k$ et $t$ s'étant simplifiés. $T_{c}$ ne dépend pas du temps : la sensation s'établit dès le premier instant et dure. $T_{c}$ est la moyenne de $T_{1}$ et $T_{2}$ pondérée par les effusivités ; $E = λ ρ c$ s'exprime en $J m^{- 2} K^{- 1} s^{- 1/2}$ . Le flux, lui, décroît comme $1/ t$ .

3) Les valeurs. Peau : $E_{1} = 0, 37 \times 1050 \times 3700 = 1, 20 \times 1 0^{3}$ (SI).

sol	$E_{2}$ (SI)	$T_{c}$ ( $^{\circ} C$ )
polystyrène expansé	$34$	$32, 6$
pin	$322$	$30, 0$
chêne	$436$	$29, 3$
carrelage	$1585$	$25, 0$
béton	$2006$	$24, 2$
acier	$13400$	$20, 2$

Sur le carrelage, la peau descend à $25^{\circ} C$ ; sur le chêne, elle reste à $29^{\circ} C$ . Les terminaisons nerveuses mesurent la température de la peau (et le flux qu'elle perd) : à température égale, un sol de forte effusivité paraît froid. Le carrelage n'est pas plus froid ; il pompe davantage d'énergie, parce qu'il la conduit bien et la stocke bien.

4) Cas limites. Si $E_{2} ≫ E_{1}$ , $T_{c} \to T_{2}$ : le métal impose sa température à la peau ( $20, 2^{\circ} C$ pour l'acier). Si $E_{2} ≪ E_{1}$ , $T_{c} \to T_{1}$ : l'isolant prend la température de la peau, et le polystyrène paraît « chaud » ( $32, 6^{\circ} C$ ). Au sauna : $T_{c} (pin) = \frac{1199 \times 37 + 322 \times 90}{1199 + 322} = 48^{\circ} C,$ $T_{c} (acier) = \frac{1199 \times 37 + 13 394 \times 90}{1199 + 13 394} = 86^{\circ} C .$ Le bois est supportable, le clou brûle : on fabrique les bancs de sauna en bois tendre, et l'on y enfonce les clous.

5) Validité. En une seconde, la peau ( $D_{1} = \frac{0 , 37}{1050 \times 3700} = 9, 5 \times 1 0^{- 8} m^{2} s^{- 1}$ ) est affectée sur $D_{1} t = 0, 31 mm$ , le carrelage ( $D_{2} = 6, 7 \times 1 0^{- 7}$ ) sur $0, 82 mm$ , le bois sur $0, 4 mm$ : ces épaisseurs sont petites devant celles des matériaux et devant la taille du contact (le modèle 1D tient). Un carreau de $1 cm$ reste semi-infini tant que $t ≪ \frac{e ^{2}}{D _{2}} = 150 s$ , soit deux à trois minutes ; au-delà, la chape qui le porte intervient, et la circulation sanguine, qui réchauffe la peau, sort du modèle. Le contact parfait est lui aussi une idéalisation (rugosité, pression du pied).

Ce que l'exercice installe. À une interface, la densité de flux est continue (une surface ne stocke pas d'énergie) et, en contact parfait, la température aussi. La loi d'échelle appliquée de chaque côté donne la température de contact, moyenne pondérée par les effusivités $λ ρ c$ , indépendante du temps. Les cas limites (métal, isolant) se lisent sur la formule. Une hypothèse d'échelle se vérifie : épaisseur affectée petite devant le milieu, durée petite devant $e^{2} / D$ .

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