Le laplacien fourni : profils stationnaires en cylindrique et en sphérique

Diffusion thermique · niveau 2

Énoncé

On donne, pour une température ne dépendant que de $r$ , le laplacien en géométrie cylindrique, $Δ T = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d T}{d r})$ , et en géométrie sphérique, $Δ T = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d T}{d r})$ . Une couche de conductivité $λ$ uniforme, sans source, est comprise entre les rayons $R_{1} = 10 cm$ et $R_{2} = 20 cm$ , maintenus à $T_{1} = 100° C$ et $T_{2} = 20° C$ , en régime stationnaire.

Résoudre $Δ T = 0$ dans les deux géométries et exprimer $T (r)$ avec les conditions aux limites.
Calculer la température à mi-épaisseur ( $r = 15 cm$ ) dans les deux cas et la comparer à celle d'un mur plan. Interpréter.
Retrouver le profil sphérique par un bilan sur une coquille.

Corrigé

1. Cylindre : $r \frac{d T}{d r} = A$ , d'où $T = A ln r + B$ ; avec les conditions aux limites, $T (r) = T_{1} - (T_{1} - T_{2}) \frac{ln ( r / R _{1} )}{ln ( R _{2} / R _{1} )}$ . Sphère : $r^{2} \frac{d T}{d r} = - A$ , d'où $T = \frac{A}{r} + B$ , et $T (r) = T_{2} + (T_{1} - T_{2}) \frac{1/ r - 1/ R _{2}}{1/ R _{1} - 1/ R _{2}}$ .

2. Cylindre : $T = 100 - 80 \times \frac{ln 1 , 5}{ln 2} = 53.2° C$ ; sphère : $A = \frac{80}{1/0 , 10 - 1/0 , 20} = 16 Km$ , $T = \frac{16}{0 , 15} - 60 = 46.7° C$ ; mur plan : $60° C$ . Le flux est conservé et la surface croît avec $r$ : la densité de flux, donc la pente $∣ d T / d r ∣ = ∣ j_{r} ∣ / λ$ , est plus forte près du rayon intérieur. La température chute vite au début, puis lentement : d'autant plus que la surface croît vite (comme $r^{2}$ pour la sphère).

3. Sur la coquille $[r, r + d r]$ , sans source et en régime stationnaire, le flux $Φ = - λ 4 π r^{2} \frac{d T}{d r}$ entrant par la face intérieure ressort par la face extérieure : il ne dépend pas de $r$ . Donc $r^{2} \frac{d T}{d r}$ est constant : c'est l'équation $Δ T = 0$ . Les deux routes, bilan sur une coquille et laplacien fourni, donnent le même profil.