Profondeur hors gel et inertie d'un mur : la loi d'échelle $L\sim \sqrt{D\tau }$

La stratégie. Deux lois et un système : le premier principe pour la tranche (système fermé, solide indéformable, sans source) et la loi de Fourier pour les flux qui la traversent. L'équation obtenue ne contient qu'un paramètre, $D$ ; comparer ses deux membres en ordre de grandeur donne l'échelle de temps attachée à une longueur.

1) L'équation de la chaleur. La tranche a pour masse $\rho S\mathrm{d}x$ ; solide indéformable : le travail des forces de pression est nul, et $\mathrm{d}u=c\mathrm{d}T$. Pendant $\mathrm{d}t$, elle reçoit $\Phi (x,t)\mathrm{d}t$ par la face d'abscisse $x$ et cède $\Phi (x+\mathrm{d}x,t)\mathrm{d}t$ par l'autre, avec $\Phi =j_{x}S$ : $$\rho S\mathrm{d}xc\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t=[\Phi (x,t)-\Phi (x+\mathrm{d}x,t)]\mathrm{d}t=-\frac{\partial j_x}{\partial x}S\mathrm{d}x\mathrm{d}t,$$ d'où le bilan local $\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial j_x}{\partial x}$. Avec $j_x=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}$ et $\lambda$ uniforme : $$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},D=\frac{\lambda }{\rho c}.$$ Unités : $\frac{\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}}{\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}\times \mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}}=\frac{\mathrm{J}{\mathrm{s}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}}{\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}}={\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$.

2) La loi d'échelle. Si la température varie de $\Delta T$ en un temps $\tau$ sur une longueur $L$ : $\frac{\partial T}{\partial t}\sim \frac{\Delta T}{\tau }$ et $D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\sim D\frac{\Delta T}{L^2}$. L'équation impose que ces deux termes soient du même ordre : $$\tau \sim \frac{L^2}{D},L\sim \sqrt{D\tau }.$$ Le préfacteur n'est pas fixé : il dépend de ce qu'on appelle « affecté » (la moitié, le dixième de la perturbation ?) et de la forme exacte de la perturbation. Seul l'ordre de grandeur compte, et la dépendance : la distance croît comme la racine du temps, le temps comme le carré de la distance.

3) La profondeur hors gel. $L=\sqrt{5,0\times 10^{-7}\tau }$ :

Une nuit de gelée ne pénètre que d'une quinzaine de centimètres. Une vague de froid de deux semaines atteint $0,8\mathrm{m}$, la profondeur hors gel : les fondations sont dimensionnées pour les plus longues périodes de froid continu du climat local, pas pour un hiver entier, dont la température moyenne de surface reste positive en France. Là où le sol reste gelé plusieurs mois, l'échelle atteint deux mètres, et l'on fonde bien plus profond. $\sqrt{D\tau }$ est d'ailleurs un majorant : l'eau du sol, en gelant, libère sa chaleur latente et ralentit le front de gel.

4) L'inertie des murs. Béton : $D=\frac{1,75}{2300\times 1000}=7,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$, et $${\tau }_{20}\sim \frac{0,20^2}{7,6\times 10^{-7}}=5,3\times 10^4\mathrm{s}\approx 15\mathrm{h},{\tau }_{40}\sim 58\mathrm{h}.$$ Un mur de $20\mathrm{cm}$ met de l'ordre d'une demi-journée à répondre : il amortit et retarde l'alternance du jour et de la nuit, c'est l'inertie thermique des maisons en dur. Doubler l'épaisseur quadruple le temps. Bois : $D=\frac{0,13}{500\times 1600}=1,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\tau }_{10}\sim \frac{0,10^2}{1,6\times 10^{-7}}=6,2\times 10^4\mathrm{s}\approx 17\mathrm{h}$. Le bois conduit treize fois moins, mais il est aussi $2,9$ fois moins capacitif ($\rho c=8,0\times 10^5$ contre $2,3\times 10^6\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$) : sa diffusivité n'est que $4,7$ fois plus faible. C'est $D$, et non $\lambda$ seul, qui fixe la réponse en temps ; $\lambda$ seul fixe le flux en régime stationnaire.

Ce que l'exercice installe. Le bilan d'une tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ et la loi de Fourier donnent $\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$, $D=\frac{\lambda }{\rho c}$ en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$. L'analyse en ordres de grandeur donne $L\sim \sqrt{D\tau }$, sans préfacteur : la diffusion est lente sur les grandes distances (le temps croît comme le carré). Inertie et pénétration se règlent par la diffusivité.