Combien de micro-états pour un macro-état ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 1 — Le système thermodynamique : descriptions et variables d'état · B. États microscopique et macroscopique

Énoncé

Un litre d'air dans les conditions usuelles contient $N \approx 2, 5 \times 1 0^{22}$ molécules.

Combien de nombres réels faut-il pour décrire l'état microscopique classique de ce litre d'air (positions et vitesses) ? Combien en faut-il pour décrire son état macroscopique ? À raison de 8 octets par nombre, quelle mémoire faudrait-il pour stocker un seul micro-état ? Comparer à un disque de 1 To ( $1 0^{12}$ octets).

Modèle des deux demi-boîtes. On ne retient de chaque molécule, supposée discernable, que l'information « dans la moitié gauche » ou « dans la moitié droite » de la boîte. Un micro-état est la liste de ces informations ; un macro-état est le nombre $k$ de molécules à gauche. a) Pour $N = 4$ , dénombrer les micro-états de chaque macro-état $k = 0, 1, 2, 3, 4$ . b) Pour $N$ quelconque, combien y a-t-il de micro-états en tout ? Combien réalisent le macro-état $k$ ?

On suppose les $2^{N}$ micro-états équiprobables. Pour $N = 100$ : a) calculer la probabilité que toutes les molécules soient à gauche ; b) calculer la proportion des micro-états qui réalisent $k = 50$ , puis la probabilité que $45 \leq k \leq 55$ (calcul à la machine permis).

On imagine que le micro-état du gaz change toutes les $τ = 1 0^{- 10} s$ . Estimer, pour $N = 100$ , la durée moyenne d'attente avant d'observer toutes les molécules à gauche, et la comparer à l'âge de l'Univers ( $\approx 4 \times 1 0^{17} s$ ). Que dire pour $N = 2, 5 \times 1 0^{22}$ ?

Conclure : pourquoi un petit nombre de variables macroscopiques suffit-il à décrire le gaz ? Le nombre de micro-états compatibles avec un macro-état est-il de l'ordre de $N$ , ou de l'ordre de $2^{N}$ ?

Corrigé

La stratégie. On compte ce que coûte la description d'un micro-état, puis, sur un modèle grossier mais exactement dénombrable, combien de micro-états réalisent un macro-état. Les deux demi-boîtes isolent une question, la répartition spatiale, et y répondent exactement.

1) Ce que coûte un micro-état. L'état classique d'une molécule ponctuelle est fixé par trois coordonnées de position et trois de vitesse. Pour le litre d'air, il faut $6 N = 1, 5 \times 1 0^{23}$ nombres, contre trois ou quatre pour le macro-état d'équilibre ( $n$ , $V$ , $T$ , la pression s'en déduisant par l'équation d'état). Stocker un seul micro-état demanderait $1, 5 \times 1 0^{23} \times 8 = 1, 2 \times 1 0^{24} octets = 1, 2 \times 1 0^{12} To,$ mille deux cents milliards de disques, pour une photographie périmée au bout d'un dixième de nanoseconde. Le nombre de l'ordre de $1 0^{23}$ est celui des paramètres d'un micro-état, pas celui des micro-états.

2) Dénombrement. a) Pour $N = 4$ molécules discernables $A, B, C, D$ , un micro-état est la donnée, pour chacune, de « gauche » ou « droite ». Le macro-état $k$ est réalisé par le choix des $k$ molécules qui sont à gauche :

$k = 0$ : 1 micro-état (toutes à droite) ;
$k = 1$ : 4 micro-états ( $A$ seule à gauche, ou $B$ , ou $C$ , ou $D$ ) ;
$k = 2$ : 6 micro-états ( $A B$ , $A C$ , $A D$ , $B C$ , $B D$ , $C D$ ) ;
$k = 3$ : 4 micro-états ;
$k = 4$ : 1 micro-état. Le total vaut $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ .

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