Cylindre vertical à deux pistons : on ajoute une masse

On prend $P_0=1,0\times 10^5\mathrm{Pa}$ et $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

1. Échauffement. Un cylindre horizontal fermé est séparé en deux compartiments par un piston mobile sans frottement. Que peut-on dire des pressions à l'équilibre ? Même question si l'on redresse le cylindre à la verticale : quelle pression est la plus grande, et de combien ?

1. Un cylindre vertical de section $S=50\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, fermé en bas, ouvert en haut sur l'atmosphère, contient de bas en haut : un gaz $A$, un piston ${\Pi }_1$ de masse $m_1=5,0\mathrm{kg}$, un gaz $B$, un piston ${\Pi }_2$ de masse $m_2=5,0\mathrm{kg}$. Les pistons coulissent sans frottement et de façon étanche. En écrivant l'équilibre de chaque piston, exprimer les pressions $P_B$ puis $P_A$ ; les calculer. Justifier qu'on peut considérer la pression uniforme dans chaque gaz.

1. Chaque gaz occupe initialement une hauteur $h=20\mathrm{cm}$. On pose sur ${\Pi }_2$ une masse $M=20\mathrm{kg}$, et l'on attend que l'ensemble revienne à la température de la pièce (parois diathermes). On admet que, pour une quantité donnée de gaz dilué à température fixée, le produit $PV$ ne change pas (loi de Boyle-Mariotte, rappelée du lycée). Calculer les nouvelles pressions, puis les nouvelles hauteurs $h_A^{\prime }$ et $h_B^{\prime }$. De combien chaque piston est-il descendu ?

1. Pourquoi les nouvelles pressions se calculent-elles sans rien savoir des gaz, alors que les hauteurs demandent l'équation d'état ? Qu'est-ce qui, dans l'état final, est imposé par l'extérieur ?

1. Cas limite. Que deviennent les hauteurs, et le rapport $h_A^{\prime }/h_B^{\prime }$, quand $M\to \infty$ ? Interpréter.