Équilibre ou régime stationnaire ? Ce que chaque paroi impose

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 1 — Le système thermodynamique : descriptions et variables d'état

Énoncé

Une barre de cuivre relie un bain d'eau bouillante à un bain de glace fondante. Au bout d'un certain temps, la température en chaque point de la barre ne varie plus. La barre est-elle à l'équilibre thermodynamique ? Que manque-t-il ?

Deux corps de températures différentes sont mis en contact, l'ensemble étant isolé de l'extérieur. Décrire qualitativement l'évolution. Quelle condition caractérise l'état final ?

Le thermomètre. On plonge un thermomètre dans un bain et l'on attend. Quelle propriété de l'équilibre thermique permet d'affirmer que deux corps qui donnent la même indication au même thermomètre sont à la même température, même s'ils n'ont jamais été en contact ? Pourquoi le thermomètre doit-il être « petit » ?

Un cylindre horizontal rigide de volume total $V$ , dont la paroi latérale et les fonds sont diathermes, est plongé dans un grand bain à la température $T_{0}$ . Un piston sans frottement le sépare en deux compartiments contenant $n_{1}$ et $n_{2}$ moles d'un même gaz, qu'on suppose obéir à l'équation d'état $P V = n R T$ . Le piston peut être fixe ou mobile, diatherme ou adiabatique. Pour chacun des quatre cas, dire quelles égalités l'équilibre impose entre les deux compartiments, compter les inconnues et les équations, et déterminer l'état final quand c'est possible. On donne $n_{1} = 1, 0 mol$ , $n_{2} = 3, 0 mol$ , $V = 40 L$ , $T_{0} = 300 K$ .

Même cylindre, mais désormais entièrement calorifugé (paroi latérale et fonds adiabatiques), avec un piston mobile et adiabatique. Les deux gaz sont initialement à des températures différentes. Combien d'égalités l'équilibre impose-t-il ? Combien d'inconnues l'état final comporte-t-il ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Un équilibre exige des variables uniformes, constantes, sans flux macroscopique. On en déduit l'égalité qu'impose chaque type de paroi, puis on compte : l'état final est déterminé s'il y a autant d'équations indépendantes que d'inconnues.

1) Stationnaire n'est pas équilibre. La température de la barre est constante dans le temps en chaque point, mais elle n'est pas uniforme : elle décroît de $100^{\circ} C$ à $0^{\circ} C$ le long de la barre. Et surtout, un flux d'énergie traverse la barre en permanence, du bain chaud vers le bain froid : il faut chauffer l'un et la glace de l'autre fond. C'est un régime stationnaire, entretenu par l'extérieur. L'équilibre demande à la fois constance, uniformité et absence de flux.

2) Le contact thermique. De l'énergie passe spontanément du corps le plus chaud au plus froid ; la température du premier baisse, celle du second monte, jusqu'à ce que les deux soient égales. Le transfert cesse alors : l'état final est caractérisé par l'égalité des températures, condition d'équilibre thermique. Sa valeur se calculera par un bilan d'énergie ; seule la condition finale compte ici.

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