La fenêtre mésoscopique : ni trop petit, ni trop grand

Pour définir une grandeur locale (masse volumique, pression, température) en un point $M$ d'un fluide, on fait la moyenne sur les molécules contenues dans un petit cube de côté $a$ centré en $M$. On admet que, si ce cube contient en moyenne $N$ molécules, le nombre de molécules effectivement présentes fluctue d'un instant à l'autre avec un écart relatif de l'ordre de $1/\sqrt{N}$.

1. Pourquoi ne peut-on pas définir la masse volumique « en un point mathématique » ($a\to 0$) ?

1. Calculer le nombre de molécules dans un litre d'air, puis dans un cube d'un micromètre de côté ($T=293\mathrm{K}$, $P=1,0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $N=PV/(k_{B}T)$). Quelle est la fluctuation relative dans ce cube ?

1. Borne inférieure. On veut une masse volumique locale définie à $10^{-3}$ près en valeur relative. Quel nombre minimal de molécules faut-il dans le cube ? En déduire la taille minimale $a_{\text{min}}$ du cube, dans l'air puis dans l'eau liquide ($\rho =1000\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, $M=18\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$). Même question pour une précision de $10^{-6}$ dans l'air.

1. Borne supérieure. Près d'un radiateur, la température de l'air varie de $10\mathrm{K}$ par mètre. Pour que la température locale soit définie à $10^{-3}$ près en valeur relative autour de $293\mathrm{K}$, quelle taille maximale $a_{\text{max}}$ le cube peut-il avoir ?

1. Conclure : qu'appelle-t-on échelle mésoscopique ? Pourquoi la description par des grandeurs locales est-elle d'autant plus confortable que le fluide est dense ? Le cube doit-il aussi être grand devant le libre parcours moyen ?