La pression, flux de quantité de mouvement : de l'averse à l'air

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 1 — Le système thermodynamique : descriptions et variables d'état

Énoncé

Un jet de particules identiques, de masse $m$ , de vitesse $v = - v e_{x}$ perpendiculaire à une paroi plane d'aire $S$ située dans le plan $x = 0$ , de densité particulaire uniforme $n_{p}$ (nombre de particules par mètre cube), frappe la paroi.

Combien de particules frappent la paroi pendant une durée $d t$ ? En considérant le système fermé formé de ces particules, exprimer la variation de leur quantité de mouvement si chaque choc est élastique (vitesse réfléchie), puis si chaque particule reste collée à la paroi (choc mou).

En déduire la force moyenne exercée par le jet sur la paroi, puis la pression : $P = 2 n_{p} m v^{2}$ (choc élastique), $P = n_{p} m v^{2}$ (choc mou). Pourquoi cette force est-elle « parfaitement stable » quand le nombre de chocs par seconde est grand ?

Une averse sur un toit plat. Une forte pluie de $50 mm$ par heure tombe verticalement à $v = 9 m s^{- 1}$ ; les gouttes s'écrasent (choc mou). Calculer la masse de pluie reçue par mètre carré et par seconde, puis la pression exercée sur le toit. Comparer à la pression atmosphérique.

L'air. Une molécule d'air a une masse $m = M / N_{A}$ avec $M = 29 g mo l^{- 1}$ ; on lui attribue une vitesse de l'ordre de $500 m s^{- 1}$ . Quelle densité $n_{p}$ faudrait-il à un jet élastique de telles molécules pour exercer $1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ ? Comparer à la densité moléculaire de l'air, $n^{*} \approx 2, 5 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ : quelle fraction des molécules suffirait, si chacune frappait la paroi de face ? Interpréter.

Évaluer le nombre de chocs par centimètre carré et par seconde. Conclure sur l'interprétation de la pression comme une moyenne.

Corrigé

La stratégie. La pression est une force par unité de surface ; une force est, d'après le principe fondamental de la dynamique, un taux de variation de quantité de mouvement. On choisit donc un système fermé, les particules qui heurtent la paroi pendant $d t$ , on calcule la variation de sa quantité de mouvement, et l'on en déduit la force que la paroi exerce sur lui, puis, par la troisième loi de Newton, la force qu'il exerce sur la paroi.

1) Le décompte. Frappent la paroi pendant $d t$ les particules situées, au début, dans le cylindre de base $S$ et de hauteur $v d t$ : $d N = n_{p} S v d t$ . Choc élastique : chacune passe de $- m v e_{x}$ à $+ m v e_{x}$ , d'où, pour le système fermé des $d N$ particules,

$d p = 2 m v d N e_{x} = 2 n_{p} m v^{2} S d t e_{x} .$

Choc mou : $- m v e_{x}$ devient $0$ , et $d p = n_{p} m v^{2} S d t e_{x}$ , deux fois moins.

2) La force et la pression. Seule la paroi agit sur ces particules pendant le choc (pesanteur négligée). Le principe fondamental de la dynamique donne la force moyenne de la paroi sur elles, $d p / d t = 2 n_{p} m v^{2} S e_{x}$ ; d'après la troisième loi de Newton, elles exercent sur la paroi la force opposée, dans le sens du jet. En divisant par $S$ :

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