Le libre parcours moyen par le cylindre balayé ; pourquoi le thermos isole

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 1 — Le système thermodynamique : descriptions et variables d'état · A. Les échelles de description

Énoncé

On modélise les molécules de l'air par des sphères dures de diamètre $d = 3, 7 \times 1 0^{- 10} m$ . L'air est à $T = 293 K$ sous $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ ; on admet que sa densité moléculaire (nombre de molécules par unité de volume) vaut $n^{*} = P / (k_{B} T)$ .

Calculer $n^{*}$ , puis la distance moyenne $δ$ entre deux molécules voisines (on admettra que chaque molécule dispose en moyenne d'un cube de côté $δ$ ).

Le cylindre balayé. On suit une molécule et l'on suppose, dans un premier modèle, que toutes les autres sont immobiles. Montrer qu'elle heurte une autre molécule chaque fois que le centre de celle-ci se trouve à une distance inférieure à $d$ de sa trajectoire. Quel volume « balaie »-t-elle sur une longueur $L$ de trajectoire ? Combien de chocs subit-elle sur cette longueur ? En déduire que le libre parcours moyen vaut $ℓ = \frac{1}{n ^{*} σ}$ , avec $σ = π d^{2}$ . Le calculer.

Classer $d$ , $δ$ et $ℓ$ . Dans quelle mesure l'air est-il un milieu « dilué » ?

Comment $ℓ$ varie-t-il avec la pression, à température fixée ? Une bouteille isotherme (thermos) comporte une double paroi ; l'intervalle, d'épaisseur $e = 5 mm$ , est vidé de son air. Au-dessous de quelle pression a-t-on $ℓ > e$ ? Que vaut $ℓ$ dans un ultravide de $1 0^{- 8} Pa$ ?

Expliquer qualitativement pourquoi diminuer la pression d'un facteur deux ne change presque pas le transport d'énergie par le gaz tant que $ℓ ≪ e$ , puis pourquoi le transport par le gaz s'effondre quand $ℓ$ dépasse $e$ . Quel mode de transfert thermique subsiste alors, et comment le limite-t-on ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition du libre parcours moyen (distance moyenne parcourue entre deux chocs), la relation donnée $n^{*} = P / (k_{B} T)$ , et une idée géométrique : deux sphères dures de diamètre $d$ se touchent quand la distance de leurs centres vaut $d$ . La stratégie est de construire un modèle d'ordre de grandeur : on ne cherche pas la valeur exacte de $ℓ$ , on cherche sa dépendance en $n^{*}$ et en $d$ , et sa valeur à un facteur de l'ordre de un près.

1) Densité moléculaire et distance entre voisines. $n^{*} = \frac{P _{0}}{k _{B} T} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{5}}{1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 293} \approx 2, 5 \times 1 0^{25} m^{- 3} .$ Si chaque molécule dispose en moyenne d'un cube de côté $δ$ , le volume par molécule vaut $δ^{3} = 1/ n^{*}$ , d'où $δ = (n^{*})^{- 1/3} \approx (2, 5 \times 1 0^{25})^{- 1/3} \approx 3, 4 \times 1 0^{- 9} m = 3, 4 nm .$

2) Le cylindre balayé. Deux sphères de diamètre $d$ se touchent quand leurs centres sont à la distance $d /2 + d /2 = d$ . La molécule suivie heurte donc toute molécule dont le centre est à moins de $d$ de la droite que décrit son propre centre : sur une longueur $L$ , ces centres occupent un cylindre de rayon $d$ , de volume $V_{balay e ˊ} = π d^{2} L = σ L, σ = π d^{2},$ où $σ$ est la section efficace de collision, l'aire de la « cible ». Le nombre de chocs sur la longueur $L$ est le nombre moyen de centres dans ce cylindre, $n^{*} σ L$ , et la distance moyenne entre deux chocs vaut $ℓ = \frac{L}{n ^{*} σ L} = \frac{1}{n ^{*} σ} = \frac{1}{2 , 5 \times 1 0 ^{25} \times 4 , 3 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 9, 4 \times 1 0^{- 8} m \approx 0, 1 μ m,$ avec $σ = π (3, 7 \times 1 0^{- 10})^{2} \approx 4, 3 \times 1 0^{- 19} m^{2}$ .

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