Les hémisphères de Magdebourg

Au milieu du XVII${}^{\text{e}}$ siècle, Otto von Guericke accole deux hémisphères de cuivre creux de rayon $R=25\mathrm{cm}$, munis d'un joint étanche, puis pompe l'air intérieur jusqu'à la pression $P_{\text{int}}=0,10\mathrm{bar}$. L'atmosphère est à $P_0=1,0\mathrm{bar}$.

1. Représenter les forces de pression élémentaires exercées par l'air extérieur et par l'air intérieur sur un élément de surface d'un hémisphère. Montrer par symétrie que leur résultante est portée par l'axe des hémisphères.

1. Première méthode. On admet qu'un fluide à pression uniforme exerce une résultante nulle sur une surface fermée. Pourquoi est-ce plausible ? (penser à une portion de ce fluide au repos, pesanteur négligée). En appliquant ce résultat à la surface fermée « hémisphère et disque équatorial », montrer que la force qui plaque les hémisphères l'un contre l'autre vaut $F=(P_0-P_{\text{int}})\pi R^2$. Seconde méthode. Retrouver ce résultat par intégration en coordonnées sphériques.

1. Calculer $F$, et la masse dont le poids est égal à $F$.

1. Guericke attelle un groupe de chevaux à chaque hémisphère. Un cheval exerce une traction d'au plus $2,5\mathrm{kN}$ environ. Combien de chevaux faut-il de chaque côté ? Montrerait-on la même chose en attachant un hémisphère à un arbre et l'autre à un seul attelage ? Combien de chevaux en tout faudrait-il alors ?

1. La force dépend-elle de la forme des coquilles (hémisphères, cônes, cylindres fermés), pourvu que le joint soit un cercle de rayon $R$ ? Que se passe-t-il quand on rouvre le robinet ?