Problème : le thermomètre à gaz et le zéro absolu

Un thermomètre à gaz à volume constant est une ampoule rigide reliée à un capteur de pression (volume mort négligé), remplie d'une petite quantité de gaz. On la plonge dans le corps dont on veut la température, on attend, on lit la pression $P$.

1. Pourquoi faut-il attendre ? Quelle condition d'équilibre la mesure exploite-t-elle ? Pourquoi l'ampoule doit-elle avoir une capacité à stocker l'énergie faible devant celle du corps étudié ? Pourquoi le volume doit-il être fixé ?

1. On remplit l'ampoule d'azote sous $P_0=1,000\mathrm{bar}$ dans la glace fondante ($0{}^{\circ }\mathrm{C}$) ; dans l'eau bouillante sous $1\mathrm{atm}$ ($100{}^{\circ }\mathrm{C}$), on lit $P_{100}=1,36710\mathrm{bar}$. On admet que $P$ est une fonction affine de la température Celsius : $P=P_0(1+\beta \theta )$. Calculer $\beta$, puis la température ${\theta }_0$ à laquelle $P$ s'annulerait.

1. On recommence avec d'autres remplissages et un autre gaz. Les rapports $r=P_{100}/P_0$ mesurés sont :

a) Calculer ${\theta }_0$ pour chaque mesure ; commenter. b) Tracer $r$ en fonction de $P_0$ pour l'azote et extrapoler à $P_0\to 0$. Comparer à l'hélium. En déduire la valeur limite commune $r_{\infty }$, puis ${\theta }_0$. c) Pourquoi la limite des faibles remplissages est-elle la bonne ? (penser à la distance entre molécules, exercice 1).

1. On définit la température absolue par $$T=273,16\mathrm{K}\times \underset{P_{\text{tr}}\to 0}{\lim }\frac{P}{P_{\text{tr}}},$$ où $P_{\text{tr}}$ est la pression lue, avec le même remplissage, au point triple de l'eau, qui est à $0,01{}^{\circ }\mathrm{C}$. Montrer que cette définition redonne $T=\theta +273,15$.

1. L'ampoule, remplie d'hélium sous faible pression, lit $P_{\text{tr}}=6,80\mathrm{kPa}$ au point triple de l'eau et $1,926\mathrm{kPa}$ dans l'azote liquide bouillant sous $1\mathrm{atm}$. Quelle est la température de l'azote liquide ? Pourquoi ce thermomètre deviendrait-il faux vers $4\mathrm{K}$, et pourquoi l'hélium est-il préféré à l'azote ?

(Les rapports du tableau sont des données modèles réalistes, construites à partir du comportement connu de ces gaz aux pressions modérées ; ce ne sont pas des mesures publiées.)