Compression adiabatique brutale : Laplace ne s'applique pas

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie · D. La loi de Laplace

Énoncé

Un cylindre à parois calorifugées, fermé par un piston de masse négligeable mobile sans frottement, contient $n$ moles d'air assimilé à un gaz parfait diatomique ( $γ = 1, 4$ ), initialement en équilibre à $P_{1} = 1, 0 bar$ et $T_{1} = 300 K$ . On pose brusquement sur le piston une masse telle que la pression extérieure passe instantanément à $P_{2} = r P_{1}$ et reste ensuite constante ; le gaz évolue jusqu'à un nouvel équilibre. On DONNE l'entropie du gaz : $S (T, P) = \frac{nγ R}{γ - 1} ln \frac{T}{T _{r e ˊ f}} - n R ln \frac{P}{P _{r e ˊ f}} + S_{r e ˊ f} .$

1) Quelle est la pression finale ? Calculer le travail reçu par le gaz en fonction de $n$ , $R$ , $T_{1}$ , $T_{2}$ et $r$ , puis montrer par le premier principe que $T_{2} = T_{1} \frac{1 + ( γ - 1 ) r}{γ} .$

2) Pour $r = 10$ , calculer $T_{2}$ . Calculer aussi la température $T_{2}^{'}$ qu'atteindrait le gaz comprimé jusqu'à la même pression de façon adiabatique et réversible. Pourquoi la loi de Laplace ne s'applique-t-elle pas à la compression brutale, alors qu'elle est adiabatique ?

3) Calculer l'entropie créée par mole. Montrer que $S_{cr e ˊ e ˊ} = n C_{P, m} ln (T_{2} / T_{2}^{'})$ , et en déduire, sans calcul, que $T_{2} > T_{2}^{'}$ dès que la transformation est irréversible.

4) Reprendre $T_{2}$ et $T_{2}^{'}$ pour une détente brutale, $r = 0, 5$ . Conclusion générale ?

5) Cas limite $r \to 1$ : montrer que $S_{cr e ˊ e ˊ} ≃ \frac{n R}{2 γ} (r - 1)^{2}$ . Pourquoi ce résultat justifie-t-il qu'une suite de petits pas soit quasi réversible ?

Corrigé

La stratégie. La compression brutale n'est pas quasi statique : on ne sait rien du chemin, sauf que la pression extérieure est connue et constante (elle donne le travail) et que les états extrêmes sont des états d'équilibre (on peut y utiliser $U$ et $S$ ). On ne fait donc que des bilans entre ces deux états.

1) L'état final et la température. Le système : le gaz, système fermé. La transformation : de $(P_{1}, T_{1}, V_{1})$ à l'équilibre final $(P_{2}, T_{2}, V_{2})$ , adiabatique (parois calorifugées), sous pression extérieure constante $r P_{1}$ .

La pression finale est imposée par l'extérieur (équilibre du piston de masse négligeable) : $P_{2} = r P_{1}$ .

Le travail reçu. La pression extérieure est constante : $W = - \int P_{ext} d V = - r P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - r P_{1} V_{2} + r P_{1} V_{1} = - P_{2} V_{2} + r P_{1} V_{1} = - n R T_{2} + r n R T_{1} .$

Premier principe. $Δ U = W$ (adiabatique), avec $Δ U = \frac{n R}{γ - 1} (T_{2} - T_{1})$ pour un gaz parfait : $\frac{T _{2} - T _{1}}{γ - 1} = r T_{1} - T_{2} ⟹ T_{2} (\frac{1}{γ - 1} + 1) = T_{1} (r + \frac{1}{γ - 1}),$ d'où, en multipliant par $γ - 1$ , $T_{2} = T_{1} \frac{1 + ( γ - 1 ) r}{γ}$ . Vérification : pour $r = 1$ , rien ne change et $T_{2} = T_{1}$ .

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