Deux corps en contact : où l'entropie est-elle créée ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie · C. Calculs de variation d'entropie

Énoncé

Deux corps condensés, de capacités thermiques $C_{1}$ et $C_{2}$ constantes, initialement aux températures $T_{1} > T_{2}$ , sont mis en contact dans une enceinte rigide et calorifugée, de capacité négligeable. On DONNE l'entropie de chacun : $S_{k} (T) = C_{k} ln (T / T_{r e ˊ f}) + S_{r e ˊ f, k}$ .

1) Définir le système et la transformation. Déterminer la température finale $T_{f}$ , puis exprimer $S_{cr e ˊ e ˊ}$ .

2) Montrer que $S_{cr e ˊ e ˊ} \geq 0$ , avec égalité si et seulement si $T_{1} = T_{2}$ . Pourquoi l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, qui suffit quand $C_{1} = C_{2}$ , ne suffit-elle plus quand $C_{1} \neq = C_{2}$ ? On pourra utiliser $ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .

3) Application : deux masses d'un kilogramme d'eau ( $c = 4, 18 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ ), à $350 K$ et $290 K$ . Calculer $Δ S_{1}$ , $Δ S_{2}$ , $S_{cr e ˊ e ˊ}$ . Pourquoi le corps froid gagne-t-il plus d'entropie que le corps chaud n'en perd ?

4) Montrer que, pour un faible écart de température, $S_{cr e ˊ e ˊ} ≃ \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} \frac{( T _{1} - T _{2} ) ^{2}}{2 T _{f}^{2}} .$ Que devient l'entropie créée quand on double l'écart ? Comparer la valeur de la question 3 à celle obtenue pour le même écart de $60 K$ mais avec le corps froid à $300 K$ .

5) Que devient $S_{cr e ˊ e ˊ}$ dans la limite $C_{2} \to \infty$ ? Que représente alors le corps 2 ? Retrouver ce résultat par un bilan d'entropie direct sur le seul corps 1, plongé dans un thermostat à $T_{2}$ : montrer que, avec $u = T_{1} / T_{2}$ , $S_{cr e ˊ e ˊ} = C_{1} (u - 1 - ln u)$ .

Corrigé

La stratégie. Système : l'ensemble des deux corps, isolé, donc $S_{cr e ˊ e ˊ} = Δ S$ , somme par extensivité ; le signe par une inégalité de concavité.

1) Le bilan. Le système : les deux corps, système fermé, de frontière la paroi intérieure de l'enceinte. La transformation : de l'état $(T_{1}, T_{2})$ à l'état d'équilibre thermique $(T_{f}, T_{f})$ . L'enceinte est rigide et calorifugée : $W = 0$ , $Q = 0$ .

Premier principe. $Δ U = C_{1} (T_{f} - T_{1}) + C_{2} (T_{f} - T_{2}) = 0$ , d'où la moyenne pondérée : $T_{f} = \frac{C _{1} T _{1} + C _{2} T _{2}}{C _{1} + C _{2}} .$

Deuxième principe. $S_{e ˊ ch} = 0$ et, par extensivité, $S_{cr e ˊ e ˊ} = Δ S = C_{1} ln \frac{T _{f}}{T _{1}} + C_{2} ln \frac{T _{f}}{T _{2}} .$ Un terme négatif, un positif : le signe de la somme n'est pas évident.

2) Le signe. Appliquons $ln x \leq x - 1$ à $x = T_{k} / T_{f}$ : $C_{k} ln \frac{T _{f}}{T _{k}} = - C_{k} ln \frac{T _{k}}{T _{f}} \geq - C_{k} (\frac{T _{k}}{T _{f}} - 1) .$ On somme pour $k = 1, 2$ : $S_{cr e ˊ e ˊ} \geq - \frac{C _{1} T _{1} + C _{2} T _{2}}{T _{f}} + (C_{1} + C_{2}) = - (C_{1} + C_{2}) + (C_{1} + C_{2}) = 0,$ par la définition même de $T_{f}$ . Égalité si et seulement si $T_{1} / T_{f} = T_{2} / T_{f} = 1$ , soit $T_{1} = T_{2}$ .

Pourquoi la moyenne géométrique ne suffit plus. Si $C_{1} = C_{2} = C$ , $T_{f}$ est la moyenne arithmétique et $S_{cr e ˊ e ˊ} = C ln (T_{f}^{2} / (T_{1} T_{2}))$ , positive parce que la moyenne arithmétique dépasse la moyenne géométrique. Avec des capacités différentes, $T_{f}$ est une moyenne pondérée, et l'inégalité à écrire est $ln T_{f} \geq \frac{C _{1} ln T _{1} + C _{2} ln T _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ : c'est exactement la concavité du logarithme, dont $ln x \leq x - 1$ est la forme la plus maniable.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.