Irréversibilité d'un contact thermique

Exercice · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie

Énoncé

Deux corps identiques (masse $m$ , capacité $c$ ) aux températures $T_{1} > T_{2}$ sont mis en contact dans une enceinte isolée. Montrer que l'entropie créée est positive.

Corrigé

La température finale est $T_{f} = \frac{T _{1} + T _{2}}{2}$ . L'ensemble étant isolé, $S_{e ˊ ch} = 0$ , donc $S_{cr e ˊ e ˊ} = Δ S = m c ln \frac{T _{f}}{T _{1}} + m c ln \frac{T _{f}}{T _{2}} = m c ln \frac{T _{f}^{2}}{T _{1} T _{2}}$ . Or $T_{f} = \frac{T _{1} + T _{2}}{2} \geq T_{1} T_{2}$ (moyenne arithmétique $\geq$ géométrique), donc $T_{f}^{2} \geq T_{1} T_{2}$ et $S_{cr e ˊ e ˊ} \geq 0$ (nul seulement si $T_{1} = T_{2}$ ). Le transfert thermique sous écart fini est irréversible.

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