La résistance chauffante : régime permanent ou isolée

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie · B. Le deuxième principe

Énoncé

Un conducteur ohmique de résistance $R = 20 Ω$ , indépendante de la température, est parcouru par un courant d'intensité constante $I = 2, 0 A$ pendant $τ = 10 min$ . Il reçoit pendant ce temps le travail électrique $W_{e} = R I^{2} τ$ (donné). Sa capacité thermique est $C = 1, 0 kJ K^{- 1}$ , ses variations de volume sont négligeables, et l'on DONNE son entropie (phase condensée) : $S (T) = C ln \frac{T}{T _{r e ˊ f}} + S_{r e ˊ f} .$

1) La résistance plongée dans un grand bain, thermostat à $T_{0} = 293 K$ , atteint très vite un régime permanent : sa température reste $T_{0}$ . Le système étant la résistance, que valent $Δ U$ et $Δ S$ sur la durée $τ$ ? En déduire $Q$ , $S_{e ˊ ch}$ et $S_{cr e ˊ e ˊ}$ . Quelle est la cause physique de l'irréversibilité ?

2) La résistance thermiquement isolée part de $T_{0}$ . Calculer sa température finale $T_{f}$ , puis $S_{cr e ˊ e ˊ}$ . Le résultat est-il compatible avec le deuxième principe ?

3) Comparer les deux valeurs de $S_{cr e ˊ e ˊ}$ . Montrer, sans calcul numérique, que dans le cas 2 $\frac{W _{e}}{T _{f}} < S_{cr e ˊ e ˊ} < \frac{W _{e}}{T _{0}},$ et interpréter : à énergie dissipée égale, crée-t-on plus d'entropie à basse ou à haute température ?

4) Ordre de grandeur : un radiateur électrique de $2 kW$ fonctionne une heure dans une pièce à $20^{\circ} C$ . Quelle entropie crée-t-il ? En quel sens peut-on dire que chauffer à l'électricité « gaspille » ?

Corrigé

La stratégie. Deux situations opposées : dans la première, l'état ne change pas et tout passe par les échanges ; dans la seconde, rien n'est échangé. On écrit les deux principes pour le même système, la résistance.

Le travail électrique : $W_{e} = R I^{2} τ = 20 \times 2, 0^{2} \times 600 = 4, 8 \times 1 0^{4} J$ .

1) Le régime permanent. Le système : la résistance, système fermé. La transformation : sur la durée $τ$ , de l'état $(T_{0})$ à l'état $(T_{0})$ : en régime permanent, l'état final est identique à l'état initial. Comme $U$ et $S$ sont des fonctions d'état, $Δ U = 0 et Δ S = 0.$ Premier principe : $Δ U = W_{e} + Q = 0$ , donc $Q = - W_{e} = - 4, 8 \times 1 0^{4} J$ : la résistance cède au bain toute l'énergie électrique reçue.

Deuxième principe. Le transfert se fait avec le bain, à $T_{0}$ : $S_{e ˊ ch} = \frac{Q}{T _{0}} = - \frac{4 , 8 \times 1 0 ^{4}}{293} \approx - 163, 8 J K^{- 1}, S_{cr e ˊ e ˊ} = Δ S - S_{e ˊ ch} = + 163, 8 J K^{- 1} .$ L'entropie créée est évacuée vers le bain au fur et à mesure. La cause physique est l'effet Joule : l'énergie ordonnée du courant devient, par les collisions des porteurs de charge, de l'agitation désordonnée. Le transfert vers le bain, sans écart de température, ne crée rien.

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