Laplace tirée de l'entropie fournie ; la méthode de Clément–Desormes

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie · D. La loi de Laplace

Énoncé

On DONNE l'entropie de $n$ moles de gaz parfait de rapport $γ = C_{P} / C_{V}$ constant : $S (T, V) = \frac{n R}{γ - 1} ln \frac{T}{T _{r e ˊ f}} + n R ln \frac{V}{V _{r e ˊ f}} + S_{r e ˊ f} .$

1) Montrer que, pour une transformation adiabatique et réversible du gaz, $T V^{γ - 1}$ reste constant, puis en déduire $P V^{γ} = cte$ et $T^{γ} P^{1 - γ} = cte$ . Indiquer précisément à quel endroit sert chacune des hypothèses : gaz parfait, adiabatique, réversible, $γ$ constant.

2) Expérience de Clément et Desormes (1819). Un grand flacon contient de l'air à la température ambiante $T_{0}$ , sous une pression $P_{1}$ légèrement supérieure à la pression atmosphérique $P_{0}$ ; un manomètre à eau indique une dénivellation $h_{1}$ , et l'on DONNE la relation $P_{1} = P_{0} + ρ g h_{1}$ , où $ρ$ est la masse volumique de l'eau. On ouvre largement le robinet un bref instant : la pression dans le flacon tombe à $P_{0}$ , et l'on referme. On attend ensuite que l'air revienne à $T_{0}$ ; le manomètre indique alors $h_{2}$ , soit $P_{2} = P_{0} + ρ g h_{2}$ .

a. On choisit pour système l'air qui reste dans le flacon à la fin de l'expérience. Pourquoi ce choix ? Justifier qu'on puisse modéliser sa détente de $P_{1}$ à $P_{0}$ par une adiabatique réversible. Que dire, en revanche, de l'air qui sort ?

b. Décrire la seconde étape. Montrer que $γ = \frac{ln ( P _{1} / P _{0} )}{ln ( P _{1} / P _{2} )} .$

c. Les surpressions étant petites devant $P_{0}$ , montrer que $γ ≃ \frac{h _{1}}{h _{1} - h _{2}}$ .

3) Application : $P_{0} = 1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ , $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ , $g = 9, 81 m s^{- 2}$ , $h_{1} = 20, 0 cm$ , $h_{2} = 5, 7 cm$ . Calculer $γ$ par les deux formules. Que conclure sur la nature de l'air ?

4) Si l'on laisse le robinet ouvert trop longtemps, le gaz commence à échanger de la chaleur avec les parois. La valeur de $γ$ obtenue est-elle surestimée ou sous-estimée ? Que mesurerait-on dans le cas limite où le robinet reste ouvert jusqu'à l'équilibre thermique ?

Corrigé

1) La loi de Laplace, hypothèse par hypothèse. Système : les $n$ moles de gaz, fermé ; transformation : de $(T_{a}, V_{a})$ à $(T_{b}, V_{b})$ . Adiabatique donne $S_{e ˊ ch} = 0$ ; réversible donne $S_{cr e ˊ e ˊ} = 0$ ; il faut les deux pour que $Δ S = 0$ (isentropique). Gaz parfait et $γ$ constant permettent d'utiliser l'expression fournie, à coefficient $n R / (γ - 1) = C_{V}$ constant.

Alors $0 = Δ S = \frac{n R}{γ - 1} ln \frac{T _{b}}{T _{a}} + n R ln \frac{V _{b}}{V _{a}} ⟹ ln \frac{T _{b}}{T _{a}} + (γ - 1) ln \frac{V _{b}}{V _{a}} = 0,$ soit $T_{b} V_{b}^{γ - 1} = T_{a} V_{a}^{γ - 1}$ . L'état $b$ étant quelconque, $T V^{γ - 1}$ est constant tout au long du chemin. L'équation d'état du gaz parfait, $T = P V / (n R)$ , sert une seconde fois : $T V^{γ - 1} = P V^{γ} / (n R)$ , donc $P V^{γ} = cte$ . Enfin, le produit de deux constantes élevées à des puissances fixes est constant, et $(T V^{γ - 1})^{γ} (P V^{γ})^{1 - γ} = T^{γ} P^{1 - γ} V^{γ (γ - 1) + γ (1 - γ)} = T^{γ} P^{1 - γ},$ donc $T^{γ} P^{1 - γ} = cte$ .

2a) Le choix du système. L'air du flacon n'est pas un système fermé (une partie sort) : on suit la masse d'air qui reste. Elle passe de $(P_{1}, T_{0})$ , dans une partie du flacon, à $(P_{0}, T^{'})$ dans tout le volume $V_{f}$ .

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