Problème : le théorème du travail maximal (Gouy–Stodola)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 6 — Deuxième principe et bilans d'entropie · B. Le deuxième principe

Énoncé

On considère un système fermé qui n'échange de transfert thermique qu'avec un unique thermostat à la température $T_{0}$ (l'atmosphère, par exemple). Il reçoit le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ ; on appelle travail fourni la quantité $W_{fourni} = - W$ , travail cédé par le système à l'extérieur.

Pour les applications, le système est une mole de gaz parfait, en contact thermique avec un thermostat à $T_{0} = 300 K$ , qui passe de l'état initial $(T_{0}, V_{i})$ à l'état final $(T_{0}, 2 V_{i})$ ; $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ . On DONNE son entropie : $S (T, V) = n C_{V, m} ln \frac{T}{T _{r e ˊ f}} + n R ln \frac{V}{V _{r e ˊ f}} + S_{r e ˊ f} .$

1) À partir des deux principes, montrer que $W_{fourni} = (T_{0} Δ S - Δ U) - T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ} .$ En déduire que $W_{fourni} \leq W_{max} = T_{0} Δ S - Δ U$ , avec égalité si et seulement si la transformation est réversible, et que $W_{max} - W_{fourni} = T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ}$ .

2) Détente isotherme réversible. Calculer $W_{max}$ pour la mole de gaz. Vérifier le résultat par le calcul direct de $- W = \int P d V$ .

3) Détente brusque. Le piston, bloqué, est libéré alors que la pression extérieure vaut $P_{f}$ , pression de l'état final, et reste constante. Le gaz, en contact avec le thermostat, atteint l'état final. Calculer $W_{fourni}$ , $Q$ , $S_{e ˊ ch}$ , $S_{cr e ˊ e ˊ}$ ; vérifier que $T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ} = W_{max} - W_{fourni}$ .

4) Détente de Joule. Le gaz, dans une enceinte rigide calorifugée, se détend dans le vide jusqu'au volume $2 V_{i}$ . Calculer $W$ , $Q$ , $S_{cr e ˊ e ˊ}$ et le travail perdu. Nommer la cause d'irréversibilité dans les cas 3 et 4.

5) Une détente en $N$ étapes brusques. On fait passer la pression extérieure, par paliers, par les pressions d'équilibre des volumes $V_{k} = V_{i} (1 + k / N)$ , $k = 1, \dots, N$ ; à chaque palier, le gaz se détend de $V_{k - 1}$ à $V_{k}$ puis revient à $T_{0}$ . Exprimer $W_{fourni}$ , puis montrer que $S_{cr e ˊ e ˊ} ≃ \frac{n R}{4 N}$ pour $N$ grand. Calculer pour $N = 10$ et $N = 100$ .

6) Le gaz détendu par la détente de Joule doit être ramené à son état initial, au contact du même thermostat. Quel travail minimal faut-il lui fournir ? Énoncer le résultat établi par le problème.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le premier principe $Δ U = W + Q$ , le deuxième $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr e ˊ e ˊ}$ avec $S_{e ˊ ch} = Q / T_{0}$ (une seule source), le travail des forces de pression $W = - \int P_{ext} d V$ , et l'expression fournie de $S$ . La stratégie : éliminer $Q$ entre les deux principes.

1) Le théorème. Le système : fermé, quelconque, n'échangeant de chaleur qu'avec le thermostat à $T_{0}$ . La transformation : entre deux états d'équilibre donnés, par un chemin quelconque.

Deuxième principe : $Δ S = Q / T_{0} + S_{cr e ˊ e ˊ}$ , donc $Q = T_{0} Δ S - T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ}$ .

Premier principe : $W = Δ U - Q = Δ U - T_{0} Δ S + T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ}$ . On change de signe : $W_{fourni} = - W = (T_{0} Δ S - Δ U) - T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ} .$

La borne. $Δ U$ et $Δ S$ sont des variations de fonctions d'état : $W_{max} = T_{0} Δ S - Δ U$ ne dépend que des états extrêmes et de $T_{0}$ . Comme $S_{cr e ˊ e ˊ} \geq 0$ , on a $W_{fourni} \leq W_{max}$ , avec égalité si et seulement si $S_{cr e ˊ e ˊ} = 0$ , c'est-à-dire si la transformation est réversible. Et l'écart est $W_{max} - W_{fourni} = T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ} .$ Homogénéité : une température multipliée par une entropie, $K \times J K^{- 1}$ , c'est bien un travail.

2) La détente isotherme réversible. Pour la mole de gaz, $T_{f} = T_{i} = T_{0}$ donc $Δ U = 0$ (gaz parfait), et $Δ S = n R ln 2$ par l'expression fournie. Donc $W_{max} = T_{0} Δ S - Δ U = n R T_{0} ln 2 = 8, 314 \times 300 \times 0, 693 \approx 1729 J .$ Vérification directe. La détente réversible est quasi statique : $P_{ext} = P = n R T_{0} / V$ à chaque instant, et $W_{fourni} = \int_{V_{i}}^{2 V_{i}} P d V = n R T_{0} \int_{V_{i}}^{2 V_{i}} \frac{d V}{V} = n R T_{0} ln 2.$ Ici $Q = 1729 J$ : le gaz convertit en travail toute la chaleur reçue.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.