Cylindre vertical à deux pistons : on ajoute une masse

La stratégie. Une pression de gaz se calcule par l'équilibre mécanique d'un solide : on isole un piston, on fait le bilan des forces qu'il subit, et l'on écrit que leur résultante est nulle. Les gaz n'apparaissent que par les forces de pression qu'ils exercent sur les faces du piston. On isole donc les pistons un par un, en commençant par celui dont on connaît tout ce qui est au-dessus.

1) Le piston entre deux gaz. Cylindre horizontal. Projetée sur l'axe, la résultante se réduit à $P_{1}S-P_{2}S$ (le poids et la réaction de la paroi sont verticaux) : l'équilibre impose $P_1=P_2$. Cylindre vertical. Le poids est dans l'axe : $P_{\text{bas}}S$ vers le haut, $P_{\text{haut}}S$ et $mg$ vers le bas, d'où

$$P_{\text{bas}}=P_{\text{haut}}+\frac{mg}{S}.$$

Le gaz du bas porte le piston : sa pression est la plus grande, de $mg/S$.

2) Les deux pistons. Piston ${\Pi }_2$. Forces verticales : $P_{0}S$ vers le bas (atmosphère), $m_{2}g$ vers le bas, $P_{B}S$ vers le haut. D'où

$$\begin{array}{rl}{P}_B& =P_0+\frac{m_{2}g}{S}\\ & =1,0\times 10^5+\frac{5,0\times 9,81}{5,0\times 10^{-3}}\\ & =1,0\times 10^5+9,8\times 10^3\approx 1,10\times 10^5\mathrm{Pa}.\end{array}$$

Piston ${\Pi }_1$. Forces : $P_{B}S$ vers le bas, $m_{1}g$ vers le bas, $P_{A}S$ vers le haut. D'où

$$\begin{array}{rl}{P}_A& =P_B+\frac{m_{1}g}{S}\\ & =P_0+\frac{(m_1+m_2)g}{S}\approx 1,20\times 10^5\mathrm{Pa}.\end{array}$$

Chaque piston ajoute $mg/S\approx 0,1\mathrm{bar}$ à la pression du gaz qui le porte.

Uniformité de la pression dans chaque gaz. La masse de chaque gaz, environ $1,2\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}\times 5,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2\times 0,20\mathrm{m}\approx 1,2\mathrm{g}$, est quatre mille fois plus faible que celle d'un piston : son poids ne modifie pas la pression de façon appréciable, et l'on considère la pression uniforme dans chaque gaz.

3) Après l'ajout de la masse. Le piston ${\Pi }_2$ porte désormais $m_2+M$ :

$$\begin{array}{rl}{P}_B^{\prime }& =P_0+\frac{(m_2+M)g}{S}\\ & =1,0\times 10^5+\frac{25\times 9,81}{5,0\times 10^{-3}}\approx 1,49\times 10^5\mathrm{Pa},\end{array}$$

puis $P_A^{\prime }=P_B^{\prime }+m_{1}g/S\approx 1,59\times 10^5\mathrm{Pa}$. Chaque gaz est un système fermé qui revient à sa température initiale ; d'après la loi admise, $P_{A}hS=P_A^{\prime }{h}_A^{\prime }S$, et de même pour $B$ :

$$h_A^{\prime }=h\frac{P_A}{P_A^{\prime }}=20\times \frac{1,196}{1,589}\approx 15,1\mathrm{cm},h_B^{\prime }=h\frac{P_B}{P_B^{\prime }}=20\times \frac{1,098}{1,491}\approx 14,7\mathrm{cm}.$$

Le piston ${\Pi }_1$ est descendu de $h-h_A^{\prime }\approx 4,9\mathrm{cm}$ ; le piston ${\Pi }_2$ de $(h-h_A^{\prime })+(h-h_B^{\prime })\approx 10,2\mathrm{cm}$.

4) Ce que l'extérieur impose. Les pressions finales ne dépendent que des masses, de $S$ et de $P_0$ : elles sont imposées par l'extérieur, à travers l'équilibre des pistons, quels que soient les gaz. La température finale l'est aussi, par la pièce. Les volumes sont la réponse des gaz : ils dépendent de l'équation d'état. On écrit d'abord ce que l'extérieur impose, puis l'équation d'état donne le reste.

5) Masse infinie. Quand $M\to \infty$, les pressions croissent comme $Mg/S$ et les hauteurs tendent vers zéro comme $1/M$ (un gaz réel se liquéfierait avant). Le rapport

$$\frac{h_A^{\prime }}{h_B^{\prime }}=\frac{P_A}{P_B}\cdot \frac{P_B^{\prime }}{P_A^{\prime }}⟶\frac{P_A}{P_B}\approx 1,09,$$

car $P_B^{\prime }/P_A^{\prime }\to 1$ : le poids de ${\Pi }_1$ devient négligeable, les deux gaz finissent à la même pression et se partagent la hauteur au prorata de leurs quantités de matière, dont le rapport, à même température, est $P_{A}h/(P_{B}h)$. Le cas limite efface les détails et ne garde que la grandeur conservée.

Ce que l'exercice installe. Une pression de gaz s'obtient par l'équilibre du solide qui le confine, piston par piston. L'état final se construit en deux temps : ce que l'extérieur impose (pression par les charges, température par le thermostat), puis la réponse du gaz (son volume, par l'équation d'état). C'est la structure de tous les bilans où un piston porte une masse.