Équilibre ou régime stationnaire ? Ce que chaque paroi impose

La stratégie. Un équilibre exige des variables uniformes, constantes, sans flux macroscopique. On en déduit l'égalité qu'impose chaque type de paroi, puis on compte : l'état final est déterminé s'il y a autant d'équations indépendantes que d'inconnues.

1) Stationnaire n'est pas équilibre. La température de la barre est constante dans le temps en chaque point, mais elle n'est pas uniforme : elle décroît de $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ le long de la barre. Et surtout, un flux d'énergie traverse la barre en permanence, du bain chaud vers le bain froid : il faut chauffer l'un et la glace de l'autre fond. C'est un régime stationnaire, entretenu par l'extérieur. L'équilibre demande à la fois constance, uniformité et absence de flux.

2) Le contact thermique. De l'énergie passe spontanément du corps le plus chaud au plus froid ; la température du premier baisse, celle du second monte, jusqu'à ce que les deux soient égales. Le transfert cesse alors : l'état final est caractérisé par l'égalité des températures, condition d'équilibre thermique. Sa valeur se calculera par un bilan d'énergie ; seule la condition finale compte ici.

3) Le thermomètre et la transitivité. Si $A$ est en équilibre thermique avec le thermomètre $C$, et $B$ aussi, alors $A$ et $B$ sont en équilibre thermique entre eux : c'est la transitivité de l'équilibre thermique, fait d'expérience parfois appelé « principe zéro ». C'est elle qui permet de comparer deux corps sans les mettre en contact. Le thermomètre doit avoir une capacité à stocker l'énergie faible devant celle du corps, pour ne pas modifier la température qu'il mesure.

4) Les quatre cas, cylindre diatherme dans un bain. Les inconnues de l'état final sont $P_1$, $P_2$, $T_1$, $T_2$ et $V_1$ (le volume $V_2=V-V_1$ s'en déduit) : cinq inconnues. On dispose toujours des deux équations d'état $P_1{V}_1=n_{1}R{T}_1$ et $P_2(V-V_1)=n_{2}R{T}_2$. La paroi latérale et les fonds étant diathermes et le bain grand, chaque gaz finit à la température du bain : $T_1=T_0$ et $T_2=T_0$, quel que soit le piston. Cela fait quatre équations ; il en manque une.

• Piston fixe : $V_1$ est une donnée. L'état est déterminé, $P_1=n_{1}R{T}_0/V_1$, $P_2=n_{2}R{T}_0/(V-V_1)$, et en général $P_1\ne P_2$ : un piston fixe supporte une différence de pression. Diatherme ou non, rien ne change, le bain imposant déjà les températures.
• Piston mobile : la cinquième équation est l'équilibre mécanique du piston (horizontal, son poids n'intervient pas), $P_{1}S=P_{2}S$. Alors $$\frac{n_{1}R{T}_0}{V_1}=\frac{n_{2}R{T}_0}{V-V_1}⟹V_1=\frac{n_1}{n_1+n_2}V=10\mathrm{L},$$ et $P=(n_1+n_2)R{T}_0/V=4,0\times 8,314\times 300/(40\times 10^{-3})\approx 2,5\times 10^5\mathrm{Pa}$ : le volume se partage au prorata des quantités de matière.

Bilan : la mobilité du piston fournit l'égalité des pressions, la diathermie l'égalité des températures (ici redondante avec le bain). Chaque propriété de paroi donne une égalité à l'équilibre, et une seule.

5) Le piston adiabatique dans un cylindre calorifugé. Cette fois, rien n'impose les températures : $T_1$ et $T_2$ sont des inconnues. La paroi mobile impose $P_1=P_2$, et c'est tout : le piston adiabatique ne laisse pas passer l'énergie thermique, donc il n'impose pas $T_1=T_2$. Inconnues : $P_1$, $P_2$, $T_1$, $T_2$, $V_1$ (cinq) ; équations : deux équations d'état et $P_1=P_2$ (trois). Il manque deux équations. La conservation de l'énergie du système isolé formé des deux gaz et du piston, qu'on saura écrire au chapitre du premier principe, en fournira une : il en manquera encore une.

L'état final n'est pas déterminé par les seules conditions d'équilibre : il dépend du détail de l'évolution (oscillations du piston, amortissement). C'est le problème célèbre du « piston adiabatique ». En pratique, aucun piston n'est parfaitement adiabatique, et un lent transfert thermique finit par égaliser les températures.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes. Ne pas confondre stationnaire et équilibre : l'équilibre est sans flux. Chaque propriété d'une paroi (mobile, diatherme, perméable) impose une égalité à l'équilibre, et une seule (pression, température, puis plus tard potentiel chimique). Et compter : un état final n'est déterminé que si les équations indépendantes sont aussi nombreuses que les inconnues ; c'est ce comptage qui dira, dans chaque bilan de l'année, s'il manque une hypothèse.