Les hémisphères de Magdebourg

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la pression : sur un élément de surface d'aire $\mathrm{d}S$, un fluide exerce une force normale à la surface, dirigée du fluide vers la paroi, de norme $P\mathrm{d}S$. La stratégie est d'éviter l'intégrale quand une astuce géométrique la rend inutile, puis de la faire quand même, pour vérifier.

1) Les forces élémentaires et la symétrie. Sur un élément de surface, l'air extérieur exerce $P_0\mathrm{d}S$ vers l'intérieur, l'air intérieur $P_{\text{int}}\mathrm{d}S$ vers l'extérieur : la force nette $(P_0-P_{\text{int}})\mathrm{d}S$ est radiale, dirigée vers le centre. L'hémisphère est invariant par rotation autour de son axe $Oz$ et les pressions sont uniformes : à chaque élément correspond son symétrique par rapport à l'axe, de même composante selon $Oz$ et de composante perpendiculaire opposée. La résultante est portée par l'axe.

2) Première méthode : la surface fermée. Plausibilité du résultat admis. Une portion de fluide au repos, de pression uniforme et sans pesanteur, limitée par une surface fermée quelconque, ne subit que les forces de pression du fluide qui l'entoure : leur résultante est nulle. Or ces forces ne dépendent que de la surface et de la pression, pas de ce qu'elle contient : un solide de même forme les subit aussi. Un fluide à pression uniforme exerce une résultante nulle sur toute surface fermée.

Application. Fermons l'hémisphère par son disque équatorial, d'aire $\pi R^2$. Sur la surface fermée « hémisphère et disque », l'air extérieur exerce une résultante nulle : sa force sur l'hémisphère est l'opposée de celle qu'il exercerait sur le disque, de norme $P_0\pi R^2$. L'air extérieur pousse donc l'hémisphère selon l'axe, vers le joint, avec $P_0\pi R^2$ ; de même, l'air intérieur le pousse en l'éloignant du joint, avec $P_{\text{int}}\pi R^2$. D'où $$F=(P_0-P_{\text{int}})\pi R^2:$$ la pression agit comme sur l'aire projetée de l'hémisphère.

Seconde méthode : l'intégrale. Repérons un point de l'hémisphère par ses angles sphériques $\theta \in [0,\pi /2]$ (mesuré depuis l'axe $Oz$) et $\phi \in [0,2\pi [$. L'élément de surface vaut $\mathrm{d}S=R^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$, et la force nette, dirigée vers le centre, a pour composante selon $Oz$ (vers le joint) $(P_0-P_{\text{int}})\cos \theta \mathrm{d}S$. D'où $$F=(P_0-P_{\text{int}})R^2{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \mathrm{d}\theta =(P_0-P_{\text{int}})R^2\times 2\pi \times \frac{1}{2}=(P_0-P_{\text{int}})\pi R^2.$$ Les deux méthodes concordent ; la première dispense de tout calcul et vaut pour n'importe quelle forme.

3) La valeur. $$F=0,90\times 10^5\times \pi \times (0,25{)}^2\approx 1,77\times 10^4\mathrm{N},$$ le poids d'une masse $F/g\approx 1,8\times 10^3\mathrm{kg}$ : près de deux tonnes, avec une différence de pression de moins d'un bar sur un disque d'un demi-mètre de diamètre. La pression atmosphérique, qu'on ne sent pas parce qu'elle s'exerce de tous côtés, représente dix tonnes par mètre carré.

4) Les chevaux. Pour séparer les hémisphères, la traction exercée sur chacun doit dépasser $F$. Avec $2,5\mathrm{kN}$ par cheval, il faut $F/2,5\mathrm{kN}\approx 7,1$, donc huit chevaux de chaque côté, seize en tout, ce qui est l'ordre de grandeur que rapportent les récits et les gravures de l'expérience.

Mais l'un des deux attelages est inutile ! Le système des deux hémisphères est en équilibre sous les deux tractions opposées : chaque attelage exerce $F$ sur son hémisphère, et l'autre attelage ne sert qu'à retenir l'ensemble. Un arbre fait la même chose : il exerce, par la corde, une force égale et opposée à la traction de l'attelage (c'est la troisième loi de Newton, appliquée à la corde puis à l'arbre). Huit chevaux et un arbre suffisent. Seize chevaux étaient plus spectaculaires, pas plus efficaces.

5) La forme et le robinet. Le raisonnement de la surface fermée n'a utilisé que le contour du joint : la force qui plaque deux coquilles l'une contre l'autre vaut $(P_0-P_{\text{int}})\pi R^2$ quelle que soit leur forme, cône, cylindre fermé ou hémisphère, pourvu que le joint soit un cercle de rayon $R$. Quand on rouvre le robinet, l'air rentre, $P_{\text{int}}$ remonte à $P_0$ et la force s'annule : les hémisphères se séparent à la main. La force ne venait pas du vide, qui ne « tire » rien, mais de l'atmosphère qui pousse de l'extérieur sans contrepartie intérieure.

Ce que l'exercice installe. La résultante des forces de pression uniformes sur une surface ouverte ne dépend que de son contour : elle vaut $\Delta P$ fois l'aire projetée. On s'en servira pour tous les pistons, soupapes et couvercles. Et l'on retient la troisième loi de Newton dans un problème de forces : avant de compter les forces nécessaires, se demander ce qui retient le système.