Indilatable, mais la bouteille pleine éclate

1) Le gaz parfait. De $V=nRT/P$ : à $P$ fixé, ${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P=\frac{nR}{P}=\frac{V}{T}$, donc $\alpha =\frac{1}{T}$ ; à $T$ fixé, ${\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T=-\frac{nRT}{P^2}=-\frac{V}{P}$, donc ${\chi }_T=\frac{1}{P}$. À $293\mathrm{K}$ et $1\mathrm{bar}$ : $\alpha =3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, seize fois celui de l'eau, et ${\chi }_T=1,0\times 10^{-5}\mathrm{P}{\mathrm{a}}^{-1}$, vingt-deux mille fois celui de l'eau. Le liquide n'est pas « peu dilatable » au même degré qu'il est « peu compressible » : c'est surtout la compressibilité qui sépare un gaz d'un liquide.

2) Les variations de volume de l'eau. Pour de petites variations, $\frac{\Delta V}{V}\approx -{\chi }_T\Delta P=-4,6\times 10^{-10}\times 10^6=-4,6\times 10^{-4}$ pour $10\mathrm{bar}$, et $\frac{\Delta V}{V}\approx \alpha \Delta T=2,1\times 10^{-3}$ pour $10\mathrm{K}$. Un litre d'eau varie de $0,5\mathrm{mL}$ sous dix bars et de $2\mathrm{mL}$ pour dix degrés : dans un bilan de masse ou d'énergie, on peut tenir le volume pour constant à mieux que quelques millièmes près. C'est la justification du modèle : $V$ cesse d'être une variable d'état utile.

3) Le récipient plein et chauffé. Système : l'eau enfermée, de volume bloqué par le récipient rigide. $\mathrm{d}V=0$ impose $\alpha \mathrm{d}T={\chi }_T\mathrm{d}P$, donc $$\Delta P=\frac{\alpha }{{\chi }_T}\Delta T=\frac{2,1\times 10^{-4}}{4,6\times 10^{-10}}\times 10\approx 4,6\times 10^6\mathrm{Pa}\approx 46\mathrm{bar}.$$ Homogénéité : $\alpha /{\chi }_T$ est en $\mathrm{Pa}{\mathrm{K}}^{-1}$, et vaut ici $4,6\mathrm{bar}$ par kelvin.

4) Le récipient plein d'air. Pour le gaz parfait, $\alpha /{\chi }_T=P/T$, et l'on retrouve directement la loi isochore : $\Delta P=\frac{P}{T}\Delta T=\frac{1,0\times 10^5}{293}\times 10\approx 3,4\times 10^3\mathrm{Pa}=0,034\mathrm{bar}$. Le liquide produit une surpression mille trois cents fois plus forte. Le paradoxe se dissout quand on lit la formule : la surpression vaut « ce que le corps voudrait gagner en volume, $\alpha \Delta T$, divisé par sa facilité à se laisser comprimer, ${\chi }_T$ ». Le liquide se dilate peu, mais il se laisse encore beaucoup moins comprimer ; il faut donc une pression énorme pour lui refuser son petit supplément de volume.

5) Les parades. Le vase d'expansion d'un chauffage central contient un coussin de gaz, séparé de l'eau par une membrane : l'eau qui se dilate comprime ce gaz, très compressible, et la pression du circuit n'augmente que modérément. L'air laissé en haut d'une bouteille joue le même rôle. Ce que l'approximation autorise : négliger les variations de volume dans les bilans (masse volumique constante, travail des forces de pression négligeable, $\Delta U=mc\Delta T$). Ce qu'elle interdit : déduire la pression d'un liquide enfermé à partir de son volume. Avec ${\chi }_T=0$, la surpression serait infinie.

Ce que l'exercice installe. Un modèle se juge sur la grandeur qu'on lui demande : « indilatable et incompressible » est excellent pour le volume, et faux pour la pression d'un liquide bloqué. On retient aussi l'ordre de grandeur $\alpha /{\chi }_T\approx 5\mathrm{bar}{\mathrm{K}}^{-1}$ pour l'eau, qui explique les canalisations qui éclatent et les vases d'expansion.