thermodynamique (PTSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

La bouteille de plongée : raisonner en moles

Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · C. L'équation d'état du gaz parfait · niveau 2

Énoncé

Une bouteille de plongée rigide de volume $V_{b} = 12 L$ est gonflée en station à $P_{1} = 200 bar$ ; la compression l'a échauffée, et l'air qu'elle contient est alors à $θ_{1} = 40^{\circ} C$ . Le plongeur l'emporte dans une eau à $θ_{2} = 15^{\circ} C$ . L'air est assimilé à un gaz parfait.

1) Quelle est la pression dans la bouteille une fois l'air revenu à la température de l'eau ? Quelle quantité de matière d'air contient-elle ? Quel volume cet air occuperait-il à $1, 0 bar$ et $15^{\circ} C$ ?

2) Le détendeur délivre l'air à la pression ambiante $P_{a}$ qui règne autour du plongeur, et le plongeur ventile un volume d'environ $20 L$ par minute, quelle que soit la profondeur, l'air inspiré étant à la température de l'eau. Exprimer la quantité de matière consommée par minute en fonction de $P_{a}$ . On remonte quand le manomètre de la bouteille indique $50 bar$ (réserve de sécurité). Calculer l'autonomie en surface ( $P_{a} = 1, 0 bar$ ), puis à une profondeur où la pression ambiante vaut $P_{a} = 3, 0 bar$ (donnée), puis à $P_{a} = 4, 0 bar$ .

3) Un plongeur qui aurait lu $200 bar$ à la station et compté sa réserve à partir de cette valeur aurait-il surestimé ou sous-estimé son autonomie à $3, 0 bar$ ? De combien ?

4) Un document affirme : « la bouteille contient $200 \times 12 = 2400 L$ d'air ; à $3 bar$ , le plongeur consomme $60 L/min$ ; son autonomie est donc de $2400/60 = 40 min$ ». Trouver l'erreur, et donner la valeur correcte avec les mêmes données (sans réserve ni échauffement).

Corrigé

La stratégie. Ce qui se consomme en plongée, ce sont des molécules : le volume d'un gaz n'a de sens qu'accompagné de sa pression et de sa température. On convertit donc tout en quantité de matière, la seule grandeur qui se conserve ou se dépense, et l'on ne compare que des quantités de matière.

1) Le refroidissement. Système : l'air contenu dans la bouteille fermée, système fermé ; volume imposé par la paroi rigide ( $V_{b}$ ), température finale imposée par l'eau ( $T_{2} = 288 K$ ). Avec $n$ et $V$ fixés, $P / T$ est constant : $P_{2} = P_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 200 \times \frac{288}{313} \approx 184 bar .$ Elle a « perdu » $16 bar$ sans perdre une molécule. La quantité de matière vaut $n = \frac{P _{2} V _{b}}{R T _{2}} = \frac{184 \times 1 0 ^{5} \times 12 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 314 \times 288} \approx 92 mol,$ soit environ $2, 7 kg$ d'air ( $M = 29 g mo l^{- 1}$ ) — la bouteille pleine pèse près de trois kilogrammes de plus que la bouteille vide. À $1, 0 bar$ et $288 K$ , cet air occuperait $V = P_{2} V_{b} / (1, 0 bar) \approx 2, 2 \times 1 0^{3} L$ , soit $2, 2 m^{3}$ .

2) La consommation. Le plongeur inspire par minute un volume $D_{V} = 20 L mi n^{- 1}$ d'air à la pression $P_{a}$ et à la température $T_{2}$ ; la quantité de matière correspondante est $D_{n} = \frac{P _{a} D _{V}}{R T _{2}},$ proportionnelle à la pression ambiante. La quantité utilisable est celle qui fait passer la bouteille de $184$ à $50 bar$ à $T_{2}$ : $n_{u} = \frac{( 184 - 50 ) \times 1 0 ^{5} \times V _{b}}{R T _{2}}$ . L'autonomie vaut $τ = \frac{n _{u}}{D _{n}} = \frac{( P _{2} - P _{res} ) V _{b}}{P _{a} D _{V}} = \frac{134 \times 12}{20 P _{a} / ( 1 bar )} min .$ Le facteur $R T_{2}$ s'est simplifié parce que tout est à la même température. Numériquement : $80 min$ en surface, $27 min$ à $3, 0 bar$ , $20 min$ à $4, 0 bar$ . À $3 bar$ , chaque inspiration emporte trois fois plus de molécules qu'en surface : l'autonomie est divisée par trois.

3) Le compte fait à chaud. Avec $200 bar$ au lieu de $184$ , le plongeur aurait compté $(200 - 50) \times 12/60 = 30 min$ au lieu de $27$ : il aurait surestimé son autonomie de $3 min$ (environ $12 %$ ), et entamé sa réserve sans le savoir. La pression d'une bouteille ne mesure la quantité d'air qu'à température connue.

4) L'erreur. Les $2400 L$ sont un volume ramené à $1 bar$ , les $60 L/min$ un volume mesuré à $3 bar$ : on divise l'un par l'autre comme s'il s'agissait de la même grandeur, ce qui revient à comparer des quantités de matière différentes sous le même nom de « litre ». Ramenés à $1 bar$ (même température), les $60 L/min$ à $3 bar$ valent $180 L/min$ , et l'autonomie correcte est $τ = \frac{2400}{180} \approx 13 min,$ trois fois moins que l'annonce.

Une limite du modèle. À $200 bar$ , l'air n'est plus tout à fait un gaz parfait ; le problème de fin de séance évalue l'écart (il est de l'ordre du pour cent).

Ce que l'exercice installe. Raisonner sur la quantité de matière, la grandeur conservée ou consommée, et ne comparer des volumes de gaz qu'à pression et température égales. Et lire chaque donnée comme une contrainte : la paroi rigide impose $V$ , l'eau impose $T$ , le détendeur impose $P_{a}$ , la ventilation impose un volume — de cette lecture sort le calcul.

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