Adiabatique ou isotherme : une question de durée

La stratégie. « Adiabatique » ne décrit pas seulement une paroi : c'est une comparaison entre deux durées, celle de la transformation et celle qu'il faut au transfert thermique pour égaliser les températures. On estime l'une et l'autre, et l'on conclut par leur rapport.

1) Le temps de relaxation. $\tau$ mesure la lenteur du retour à l'équilibre thermique entre le gaz et l'extérieur. L'énergie qui doit sortir est proportionnelle à la quantité de gaz, donc à son volume ; elle sort à travers la surface des parois, d'autant plus lentement que celles-ci conduisent mal. Un grand volume, une petite surface, une paroi isolante : $\tau$ est long. Une paroi calorifugée rend $\tau$ « infini ».

2) Trois compressions. Le coup de pompe dure $0,5\mathrm{s}\ll \tau =20\mathrm{s}$ : le gaz n'a pas le temps d'échanger de chaleur, la compression est adiabatique en bonne approximation — c'est pourquoi le corps de la pompe chauffe. La seringue enfoncée en une minute dure $60\mathrm{s}\approx 3\tau$ : ni l'un ni l'autre, le gaz s'échauffe un peu et se refroidit en même temps ; aucun des deux modèles ne convient bien. En dix minutes, $600\mathrm{s}\approx 30\tau$ : la température du gaz suit celle de l'extérieur, et si la compression est aussi quasi statique, elle est isotherme. Dans les trois cas, le gaz est entouré par l'atmosphère, de température constante : la transformation est monotherme, et la température finale, une fois l'équilibre revenu, est la température ambiante.

3) Le Diesel. $2000\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ font $33,3\mathrm{tr}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; un demi-tour dure $$\Delta t=\frac{1}{2}\times \frac{60}{2000}=1,5\times 10^{-2}\mathrm{s}=15\mathrm{ms}.$$ C'est plus de mille fois plus court que le $\tau$ de notre cylindre, et beaucoup plus court que le temps de relaxation thermique de l'air dans un cylindre de moteur : seule une petite fraction de l'énergie a le temps de traverser les parois, la compression Diesel est adiabatique en bonne approximation. L'air s'y échauffe assez pour enflammer le gazole injecté, sans bougie ; on en expliquera la valeur au chapitre suivant.

4) Quelle compression coûte le plus ? Partons d'un même état $A$ et réduisons le volume de $V_A$ à $V_B<V_A$. Vers les petits volumes, la courbe la plus pentue monte plus vite : l'adiabatique passe au-dessus de l'isotherme sur tout l'intervalle $[V_B,V_A]$. Le travail reçu en compression quasi statique est l'aire sous la courbe : l'adiabatique coûte plus de travail. Physiquement, le gaz qui ne peut pas céder de chaleur s'échauffe en étant comprimé ; à volume égal, il est plus chaud, donc sa pression est plus élevée, et il résiste davantage. En détente, c'est l'inverse : l'adiabatique, plus basse, rend moins de travail que l'isotherme.

5) Newton. Avec $T=293,15\mathrm{K}$ : $$c_N=\sqrt{\frac{RT}{M}}=\sqrt{\frac{8,314\times 293,15}{29,0\times 10^{-3}}}=290\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La valeur mesurée est de $343\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : Newton se trompait de $15\%$, un écart bien supérieur à la précision des mesures, même à son époque.

6) La correction de Laplace. Pour un son de $1\mathrm{kHz}$, une compression dure une demi-période, $0,5\mathrm{ms}$ ; et l'énergie devrait voyager d'une zone comprimée (chaude) à la zone détendue voisine, à une demi-longueur d'onde, soit $17\mathrm{cm}$, ce que la conduction dans l'air est incapable de faire en une demi-milliseconde. Les compressions de l'onde sont donc adiabatiques, pas isothermes. Le calcul donne $${\left(\frac{343}{290}\right)}^2=1,40,$$ qui est exactement le rapport $\gamma =C_P/C_V$ de l'air, gaz parfait diatomique ($\gamma =7/5$, vu au chapitre sur le gaz parfait). Laplace corrigea la formule en 1816 : $c=\sqrt{\gamma RT/M}$, que l'on retrouvera en deuxième année.

Ce que l'exercice installe. Adiabatique, isotherme : ce sont des modèles, choisis en comparant la durée de la transformation au temps de relaxation thermique. Une transformation rapide est adiabatique même sans paroi calorifugée ; une transformation lente au contact d'un thermostat est isotherme. Et le choix du modèle a des conséquences mesurables : il a fallu cent trente ans pour corriger la vitesse du son de Newton.